T'erlicrrlics sur Véquation de Kummer. 61 



^P étant une fonction entière de t qui admet les deux expressions suivantes: 



zp — p" 



.7^ R \m ff , P' + :t\ P)-n^P{pit^B'+ :i[ R) 



= Q 



ii—i 



JT, R [n :t, Q'+ %^_ Q) -jt„Q [p n^ R'+ :x'^ R) 



On en déduit: 



<p2 



/dxl 



\dt) . 



x{x-\)'n,:i,_nlP'"Q''R-' ' 



mais l'expression de '/■•■ montre que ^'^ est divisible par P"' et par Ç"; de 

 même, les facteurs t' et {t — 1)' appartenant à l'un des produits n^, n^, k^, W 

 contiendra les facteurs f~', (^— l)'"'. Il eu résulte que, dans tous les cas 

 possibles, par la suppression de facteurs communs au numérateur et au dé- 

 nominateur, on peut écrire 



(14) 



dx- 

 dt 



i,{t) 



x{x-i) f{t--iyR' 



il> (t) étant une fonction entière de t. On obtient aisément une limite supé- 

 rieure du degré de ij) (t) en remarquant que l'intégrale générale de l'équation 

 (14) est 



CV'ÄK^dt 



si le degré de i< (f) dépassait 2 p + 2, l'intégrale , ï. ^ n'ts d t serait infinie 



pour t = ce comme t" [a étant un nombre positif) et par suite le point t=co 

 serait un. point singulier transcendant pour l'intégrale de l'équation (14). Si 

 le degré de ij){t) est inférieur à 2p' + 2, la valeur ^ = oo ne pourra corre- 

 spondre à ic = 00 ; en effet si pour t = od on avait 



a étant positif et <p, désignant une fonction holomorphe dans le domaine du 

 point i = CO et finie pour ce point, le premier membre de l'équation (14) 

 serait pour ^ = qo infiniment petit du second ordre, tandis que le second uiem- 



