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bre serait d'un ordre infiniment petit supérieur au second. Il faudra donc 

 que pour ^ = go on ait soit x = 0, soit ic=l. Supposons par exemple qu'on 

 ait x = 0. Appelons D le degré de multiplicité de la racine ^ = oo de l'équa- 

 tion cp {t) = et D' le degré de i/' (0 '• dans le voisinage du point ^ = œ , le 

 premier membre de l'équation (14) sera infiniment petit d'ordre D + 2 et le 

 second membre d'ordre 2 p + 4 - D'. Par conséquent on aura D + 2 = 2 / + 4 — D' 

 ou D' = 2 p + 2 — D. Ainsi, en appelant B Vordre de midtiplicité de la ra- 

 cine t= <x) de l'une des équations (f (t) = 0, (f> (0 = 1, ^e <^W^' ^^ 'V' (0 sera 

 2p+2-D. 



Les 2 p'+ 2 — D racines de i/' (t) ne peuvent provenir que des racines 

 des deux équations cp (0 = 0, (f{t) = \. En premier lieu, l'expression de ^F 

 nous montre que l'équation V = ne peut avoir aucune racine commune avec 

 l'équation jt^B — 0. D'autre part si pour une racine a de l'équation i/» (^ = 0, 

 X avait une valeur finie h dioërente de zéro et de l'unité, on aurait pour cette 



n or 

 valeur de ^ ;7T = ^ ^^ P'^"' ^^*i*^ l'équation (f (t) = b admettrait la racine mul- 



tiple t= a. Nous voyons en outre que tout facteur de P figure dans 'F à la 

 puissance m — 1 et par suite dans V '^ la puissance m — 2 et de même tout 

 facteur de Q figure dans i/- à la puissance n-2. Enfin tout facteur f, {t - l)" 

 qui appartient à l'un des produits :r,, »„ figure dans i/' à la même puissance. En 

 rapprochant ces diverses propositions, on en conclut que l'on a la relation 



(15) N+ {m - 2) m'+ N'+ {n - 2) n= 2 p + 2, 



à laquelle nous devrons joindre les équations 



iV -H m m— N'+ n n— N"+ p p , 



*^^^^ ' N+N'+N">Z. 



[7.] Réciproquement, étant donnée une identité de la forme (13), où 



P, Q, B sont sans facteurs multiples et sans facteurs communs, et n'admettent 



pour facteur ni t, ni t - \, si les nombres m, n,p, . . . vérifient la relation (15), 



à cette identité correspond une intégrale rationnelle pour l'équation de Kümmer. 



jr P'" 

 Il suffit de répéter le raisonnement qui vient d'être fait. Posons x = ' et 



reprenons l'équation (14); le polynôme il> (t) ne peut, dans aucun cas, d'après 

 ce que nous avons vu, être d'un degré supérieur à 2/+ 2. Mais d'après la 

 relation (15) nous connaissons déjà 2p'+2 racines de l'équation ^' (<) = en 

 considérant t - ao comme une racine dans le cas où le degré de i> (t) serait 



