Rechcrcliefi sur réquatioii de Kummer. 63 



inférieur à 2 / + 2. Il suit de là que toute équation <f (t)-h,o\\h est diffé- 

 rent de 0, 1, 00 , n'aura que des racines simples, car une racine multiple de- 



(m Ù* 



vrait appartenir à l'équation 77 = et par suite à l'équation j/r(^) = 0. Le 



même mode de raisonnement prouve que, si l'équation (15) est satisfaite, les 

 polynômes P, Q, B n'auront forcément que des facteurs simples, car une racine 

 multiple de l'équation 1'= par exemple devrait appartenir à l'équation i/' (t) = 

 à un degré de multiplicité supérieur h m — 2; ce qui n'est pas compatible 

 avec l'équation (15). 



Les équations (15) et (16) entraînent les suivantes 



N + {m - 2) m'+ N"+ {p - 2) /= 2 n+ 2, 

 N'+ (« - 2) n + N"+ {p - 2)p'= 2 m+ 2, 



que l'on pourrait aussi établir en faisant porter le raisonnement sur les fractions 

 rationnelles ou -; . A tout svstême de solutions en nombres entiers et 



positifs des équations (15) et (16) correspondent en général une ou plusieurs 

 formules de la forme (13) et par suite une ou plusieurs intégrales de l'équa- 

 tion de Kummer. En effet, désignons par J le nombre entier positif 



zl = N + m »1= N'+ n n~ N"-\-pp' , 



degré de la fraction rationnelle à déterminer. L'équation (15) peut s'écrire 



j — »i'+ n^p^ 1 ; 



elle montre que, si l'on veut calculer les polynômes P, Ç, -B par la méthode 

 des coefficients indéterminés, le nombre des équations sera précisément le 

 même que celui des inconnues. Comme on peut toujours prendre l'un des 

 coefficients égal à l'unité, leur nombre sera >w'+ k'+ /+ 2 et le nombre des 

 équations sera z/ + 1 ; donc U problème est déterminé. 



Bemarque. Etant donnée une formule quelconque de la forme (13), 

 nous venons de voir que la somme N + {m — 2) m'+ N'+ {n - 2) n sera au 

 plus égale à 2 p'+ 2 ; le cas que j'ai en vue est précisément celui où cette 

 limite supérieure est atteinte. Si on avait 



N+ {m - 2) m'+ N'+ {n - 2) n= 2 p'-{- 2 - 2 (i\ 



ô étant un nombre entier positif, le problème ne serait plus déterminé, car on 

 aurait ô équations de moins que d'inconnues. On conçoit donc l'existence 

 d'une infinité de formules de la forme (13) qui ne répondent pas à la question 



