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et qui contiennent un ou plusieurs coefficients arbitraii'es. Telle serait la for- 

 mule 



I r + ait- 1),; }^ - j i" -a{t- 1)'" j'= 4 a i" (t - 1)"', 



OÙ n est différent de n et « un paramètre arbitraire. Nous reviendrons plus 

 loin sur ces cas singuliers. 



[8.] La discussion des équations (15) et (16) comprend plusieurs cas, 

 dont les plus simples fournissent les transformations déjà connues de la série 

 hypergéom étriqué : 



1"' Cas. Soit m'=n' = p'^0; on aura forcément N= N'= N"— 1 et on 

 retrouve les substitutious bien connues 



1 1 t t-1 



x = t, x = l — i, x = j, X =YZ.l' * ~ r^' ^ ~ — T~ ' 



;i, (j, V peuvent être quelconques et l\ (/, v ont les mêmes valeurs, disposées 

 dans un ordre différent. 



2"'" Cas. Soit «î'ttO, n'=p'=0. Les équations (15) et (16) deviennent: 



N + N'+ {m - 2) m'^ 2, 

 N + m m' = N'= N", 



N+N' + N":^3; 



elles admettent un seul système de solutions N=0, N'=N"=2, et les iden- 

 tités correspondantes se ramènent à la suivante 



(17) (2 t - 1)^- 1 = 4 ^ (^ - 1) ; A = ± ^; f, r, . . . X'' = (i" = ft^ ; r'^ = 4 ^^ 



Les transformations qui s'en déduisent ont été données par Kummer 

 (Journal de Crelle, tome XV). 



3"'" Cas. Soit m'ttO, nnO, / = 0. Les équations (15) et (16) devien- 

 nent 



N + {'iH - 2) m'+ N'+ {n - 2) n = 2, 



N +m m - N'+ n, n - N", 

 Elles admettent les systèmes de solutions ci-dessous: 



