Recherches nur Vêquation de Kummer. 67 



dans le suivant 



n=h + m, N = 2^'+ 1 + ^ N'=p'+ 1 - h, N"=p'+ 1 + 2 m'+ h - pp\ 



m et p étant positifs et h un nombre entier positif ou négatif, choisis de 

 telle sorte que n, N, N', N" soient tous positifs, ce qu'on peut faire d'une 

 infinité de manières. 



Enfin supposons que l'on ait m = 2, n>2, p^n. Les équations (15) et 

 (16) deviennent 



N+N'+{n-2)n=2p'+2, 



N-\-2 m'= N'+ nn= N"+pp', 



N+N' + N"^3; 



La première peut s'écrire 



H fl 2 ^\ 



N' + nn= (2 p'+ 2) ^ - N ^ s , 



^^ ^ n — 2 n—2 w — 2' 



ou, eu tenant compte de la seconde, 



>* ,. ** 2^' 



^^ ^ -^ ' n — 2 n — 2 n — 2 ' 



et on aura par conséquent 



(26) 2^/<(2/+2)^-^. 



n 

 Comme on suppose n ^ 3, on aura ^ ^ 3 et a fortiori 



pp'< Qp + G, 



inégalité qui n'est satisfaite pour aucune valeur du nombre entier p , sauf 

 y= 0, si p est égal ou supérieur à 12. Donc le nombre entier p ne peut 

 dépasser 11. 



Soit ^; = 11; l'inégalité (26) n'est satisfaite qu'en prenaut n = 3, p=\. 

 Les équations (15) et (16) deviennent 



N+ N'+ » = A, N+ 2 w = N' + 3 n = N"+ 11, N+N'+N"^ 3. 



Le seul système de solutions de la première équation qui donne N'+ 3 w' > 1 1 



est N=N'=0, n=4, et on aura alors N"=l et par suite iV+ iV'+ iV" < 3. 

 Donc on ne peut avoir p = 11. 



