Rcchcnhcs sur Véquation de Kummer. 



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l'équation N+ N'+ 2 n~ 4 qui donne N'+ 4 »' > 7 est n= 2, N= N'= 0, mais 

 on aurait N -\- N'+ N"=l. Si on prend « = 3, ji'- 5, l'équation (15) devient 

 N+N'+n'=l2 et le seul système que donne iV'+ 3 »' > 35 est w'= 12, 

 N=N'=0, mais il donne aussi N+N'-\-N"=\. Si on prend « = 3, j/= 4, 

 l'équation (15) devient N + N'+ n= \0, et les seuls systèmes de solutions qui 

 donnent N'+ 3 n ^ 28 sont {n= 10, N = N'= 0) ou («'= 9, J\^= 0, iV'= 1) mais 

 il donnent aussi iV+.V'+^"<3. On discute de même les cas de p'=S,2, 1 

 et on trouve sept systèmes de solutions : 



m 



2, « = 3, iJ = 7 



Soit jj = 6. L'inégalité (26) est satisfaite pour n = 3, quel que soit p. 

 Les équations (15) et (16) deviennent 



N-{-N'+n=22) +2, 



N+ 2 m'= N'+ 3 n'= N"+ 6 ^Z, 



iV 4- iV'+ iY" Z 3. 



Elles admettent une infinité de systèmes de solutions, par exemple 



m'=3p'+'d, n=2p'+2, N=N'=0, N"= G. 



L'inégalité (26) est en outre satisfaite en prenant n = 4, //= 1 et n - 5, 

 p'=\ Prenons « = 4,/=!, les seuls systèmes de solutions de l'équation (15) 

 N+ N'+ 2 n= 4 qui donnent N'+ 4 m' ^ 6 sont (w'= 2, iF= N'= 0) ou («'= 1, 

 N=Q,N'=\\ mais on a dans les deux cas N+ N'+ N"<^. Prenons «=5, 

 /= 1 ; le seul système de solutions de l'équation iV+iV'+3«'=4 qui donne 

 iV'+5w'^6 est (w'= 1, N-Q, iV'= 1) mais on aurait iV"= 1 et par suite 

 N+W+N"<^. 



Soit p = 5. L'inégalité (26) est satisfaite pour n = 3, quel que soit p'\ les 

 équations (15) et (16) deviennent 



