Recherches sur V équation de Kummer. 71 



Ces onze cas se partagent nettement en trois catégories. Dans les quatre 



premiers la somme +- + ^ est supérieure à l'unité, et on sait d'après un 

 ^ m n p ^ ' ' 



beau Mémoire de Mr. Schwarz {Journal de Borchardt, tome 75) que l'inté- 

 grale générale de l'équation h3'pergéométrique correspondante est algébrique. 

 Nous venons de voir que les équations (15) et (16) admettent une infinité de 

 solutions et il existe en effet une infinité dHntégrales rationnelles de tous les 

 degrés pour l'équation de Kummer. 



Dans les trois cas suivants (V, VI, VII), la somme —+--!-- est égale 



à l'unité. L'équation hypergéométrique correspondante s'intégre par les fonctions 

 elliptiques. Les équations (15) et (16) admettent encore une infinité de solu. 

 tions, et il existe une infinité dHntégrales rationnelles pour l'équation de Küm- 

 mer. Nous verrons plus loin que la question n'est qu'un cas particulier du 

 problème de la transformation des intégrales elliptiques de première espèce. 



111 



Enfin, dans les quatre derniers cas, la somme — +-+ est inférieure à 

 ' ' ' m n p 



l'unité. Nous avons trouvé pour les équations (15) et (16) un très-petit nombre 



de solutions et nous arrivons déjà à cette conclusion que, si la somme A + ft + v 



est inférieure à V unité ^ il n'existe qu'un nombre limité d'intégrales rationnelles 



pour l'équation de Kummer. 



[9.] Il reste encore à étudier le cas où, parmi les valeurs de x qui 

 correspondent aux valeurs 0, 1, oo attribuées h t, il y en a une ou plusieurs 

 qui sont différentes de 0, 1, co . Supposons, pour fixer les idées, que l'équa- 

 tion (p(t) = b admette la racine t = au degré r de multiplicité, b étant diffé- 

 rent de 0, 1, 00 ; l'équation (12) admettra dans le domaine du point t — les 

 deux intégrales particulières 



y = 1 + «„ f+ . . . 



de sorte que cette équation n'aura que deux points singuliers de la première 

 espèce. D'après ce qui a été dit plus haut, l'intégrale générale de cette 

 équation et par suite de l'équation (9) s'exprimera au moyen de fonctions al- 

 gébriques. Ce n'est donc que dans les cas d'intégration algébrique que cette 

 circonstance pourra se présenter. Il y a encore une distinction à faire suivant 

 que le nombre r est égal ou supérieur à l'unité, ou plus généralement suivant 

 que l'équation (f' (t) = b n'a que des racines simples ou a des racines multiples 

 (qui ne peuvent être que 0, 1, oo ) tant que b est différent de 0, 1, co . 



