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Occupons-nous d'abord du premier cas ; je dis que les fractions ration- 

 nelles qui satisfont à ces conditions se ramènent aux précédentes. Pour prendre 

 un exemple, je suppose que ^ = 1 et < = co soient racines de l'une des équa- 

 tion (f (t) = 0, cfi (t) = ], (p {t) = 00 et que ^ = soit racine simple de l'équa- 

 tion (p{t) = b, b étant différent de 0, 1, co . Soit a une racine d'ordre m de 

 l'équation (p{t) = 0; on peut par une substitution linéaire t = Au + B faire 

 correspondre aux valeurs «, 1, oo de ^ les valeurs 0, 1, œ, de ii et la fraction 

 rationnelle cp (A u + B) aura exactement les mêmes propriétés que celles que 

 nous venons d'étudier. Elle conduira à une identité de la forme (13) où le 

 produit n, contiendra le facteur u'". Inversement toute identité de la forme 

 (13) oîi l'une des équations 9 {i) = 0, (f- (i!) = 1, 9 {t) = co admet l'une des ra- 

 cines t = Q^t^\,t= ce à un degré de multiplicité égal à m,n,p, peut par 

 une substitution linéaire donner naissance à une fraction rationnelle répondant 

 au cas que nous étudions. Ainsi dans la formule (21) changeons l—t en 



a — - — , où a est une constante arbitraire, on trouve la nouvelle formule 



t 



.^^. [8 {a + t- a tf- 36 t (« + t - a t) + 27 f ]'- t[^ t - % {a ^ t - a t)]" 



et la fraction rationnelle 



_ [8 (a -h ^ - a ty- Ut{a + t-at) + 'll f]' 

 ^' Ua{\ -t){a + t- a tf 



prend une valeur différente de 0, ] , co pour t = co . 



Un cas particulièrement intéressant est celui où les valeurs 0, 1, x de t 

 correspondent à 3 valeurs de x diftërentcs de 0, 1, œ, de telle sorte que l'on 

 ait une identité de la forme 



X'" + 1'" -h Z" = 0, 



X, I'^, Z étant des polynômes entiers sans facteurs communs ni facteurs mul- 

 tiples, tels en outre que l'équation X'" -t- i Z*' = n'ait que des racines simples, 

 sauf pour 6 = 0, ^»=1,^ = 00. Soit u une racine de l'équation X-O,^ une 

 racine de Y=Q, j' une racine de Z=0; on peut par une substitution linéaire 

 convenable 



A u + B 



faire correspondre aux valeurs «, /3,;' de t les valeurs 0, 1, œ de u. L'iden- 

 tité précédente devient 



