Recherches sur Véquation de Kummer. 73 



II'" P"'+(«-l)" Q"+R'' = (i\ 



c'est une identité de la forme (13) où on a N = m, N'=n, N"=p. Si nous 

 introduisons ces liypothèses dans les formules (15) et (16), elles deviennent 



{m - 2) {m'+ 1) + (». - 2) («'+ 1} = 2 /- 2, 

 m [m'i- 1) = n {h'+ 1) =p {p'+ 1). 

 Un en déduit 



(m - 3) (m'+ 1 ) + (w - 3) {n+ 1) + (p - 3) {p'+ 1) + 6 = ; 



ce qui montre que les trois nombres m, n, p ne peuvent être supérieurs à 2. 

 Si on suppose m = n = 2, elles admettent les solutions 



m = n = 2, p, m'= n'=p — \.,p'~ 1. 



Soit en second lieu m - 2, n > 2, p> n. On tire des équations précédentes 



n mn 2 n 



p{p'^\) = 2{p'+\) 



n — 2 w — 2 w — 2' 



2 w 2 H 



et par suite i? < ^— ^ et a fortiori p<%. L'inégalité V <:^^zr2 ^^^ satisfaite 



en prenant n = 3, p = 5, ou n = d,p = 4, ou n = 3, p = 3. On en déduit trois 

 autres systèmes de solutions 



Par une substitution linéaire générale, on sera conduit aux quatre identités 

 suivantes : 



^L+ y: + z\ = 0, 



X, Y, Z étant des fonctions entières d'un degré marqué par leur indice, l'une 

 seulement pouvant être d'un degré inférieur d'une unité; chacune d'elles con- 

 tient 3 paramètres arbitraires. Les trois premières formules sont les suivantes: 



[i"+ (t - irY- [t" -(i- 1)"]' = i i" [t - 1)", 



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