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E. G o U R s A T. 



(28) 



\f+{t-\y-Y+4jf-(t-\y - \f+(t~iyr+iff-{t-iy- 



+ i2;(i- 1) [^(1 -0 {^"+ii''^y\ I ^ - {i- ir, 



i^2\f'+{t-iyj'-v2f{t - ly \f+{t - ly \'- isf (t- ly \f+{t- iy\'+ us r {t-iy 

 (29) \-\[f'+it-iy]'-if{t-iy\f-+{t-ir\"+ uu'{t-\y 

 t{t~i)\f-+{t-^ ly-y^t'-it- \y 



= - 27. 10 



la première est identique à la formule (18). Les formules (28) et (29) s'ob- 



tiennent en changeant t en 



!^v(^-irr 



åf{t- \y 



dans les formules (22) et (25). On 



obtiendra de même la dernière formule en changeant t en 



h^ 



f+ {t-\y 



dans 



4f (^-1)^ 

 l'identité (49) que l'on trouvera plus loin. 



Les identités précédentes ont été rencontrées par Mr. Halphen dans son 

 Mémoire sur la réduction des équations linéaires.*) . Il est facile de comprendre 

 comment elles conduisent à l'intégration des équations correspondantes; pre- 

 nons, pour fixer les idées, l'équation du tétraèdre 



x{x-l) y" + 2 (*' ~ -^) "^ 3 ^ 



X": 



si on y fait le changement de variable x = — -tÂ, la nouvelle équation en t 



aura pour points singuliers les racines de l'équation Z,= avec les expo- 



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 sants de discontinuité — t et ^. D'après ce qu'on a vu au n" 1 elle admettra 



donc les deux intégrales ^ ^ 



dont le rapport est précisément égal à t, de sorte que la variable indépen- 

 dante est une fonction rationnelle du rapport de deux intégrales particulières. 

 Les substitutions linéaires que subit t lorsque x décrit un contour fermé sont 



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 précisément celles qui reproduisent la fraction rationnelle—-^. 



[10.] Pour terminer ce qui est relatif aux identités de la forme (13), je 

 considère encore le cas où la relation (15) n'est pas satisfaite. Une formule 



*) Voir aussi Klein, Math. Annalen, Bd. XI. 



