Bcrlurrhcs .sur Péquatioii de Kummrr. 75 



(13) ne fournit plus alors d'intégrale de l'équation de Kummer; cependant ces 

 formules peuvent servir à la transformation des séries hypei'géométriques. Soit 

 l'équation linéaire 



(30) X {\-x) y"+ [y - (a + |3 + l) a;] /- a (3 y = 0, 



où 



1 1 1 



1— r=~, y — « — /3=-, à—a — ~, 

 ' m ' ^ n^ ^ p' 



et une identité do la forme (13) 



si dans 1 équation précédente on fait le changement de variable x= ^, 



la 



nouvelle équation aura les points singuliers 0, 1, co et en outre des points 

 singuliers de seconde et de troisième espèce; par une transformation y = ivv 

 on pourra la ramener à n'avoir, outre les points 0, 1, oo , que des points sin- 

 guliers apparents. En faisant usage d'un résultat que j'ai obtenu dans un Mé- 

 moire sur les séries hypergéométriques d'ordre supérieur (Annales de l'Ecole 

 Normale, tome XII, 2'^'"" Série, 1883), on voit qu'il existe une équation 



(31) ^ (1 - ^"+ [j''- ('''+ i^'+ 1) ^] ^'- «' 1^' ^ = 0, 



de même famille que l'équation en v ; l'intégrale générale de l'équation en v sera 



p et q étant des fonctions rationnelles de if et ^ l'intégrale générale de l'équa- 

 tion (31). Inversement l'intégrale générale de l'équation (31) sera 



s=p^v + qy, 

 et les équations (30) et (31) se ramènent l'une ta, l'autre. L'intégrale générale 

 de l'équation en v s'exprimera, d'après le Mémoire déjà cité, au moyen de 

 séries hypergéométriques d'ordre supérieur. Ceci nous montre que les formules 

 dont il s'agit ne sont pas à priori complètement dépourvues d'intérêt. Les 

 formules (15) et (16) devront être remplacées par les suivantes 

 JSf + (.m - 2) m'+ N'+ (w - 2) n'= 2 p'+ 2 - 2 d, 

 N + m m = N'+ n n — N"+ pp', 



â étant un nombre entier positif. On en tire 



(m - 3) m + {n - 3) n + {p - 3) p= 3 - N - N' - N"- 3 ô; 

 ce qui montre que les trois nombres m, n, p ne peuvent être à la fois supé- 

 rieurs à 2. 



