76 E. G o u R s A T. 



Soit m = « = 2,p^2; les équations deviennent: 



N + N'= 2 p'+ 2-2 Ô, 

 N+2 ni = N'+ 2 n- X " + ^/, 



et elles admettent, quel que soit d, une infinité de systèmes de solutions. 



Soit 7H = 2, «. ^3, |j^w. L'inégalité (26) doit être remi}lacée par la 

 suivante 



, . 2 p n 

 Pi' <n-2' 

 ou 



2n 



et par suite 2^ < 6. L'inégalité est satisfaite en prenant « = 3 et p = 3, 4, 5, 

 c'est-à-dire seulement dans les cas d'intégration algébrique. On en déduit 

 cette conséquence à noter que la relation (15) est forcément satisfaite pour 

 les identités de la foi'me (13) qui se rapportent aux sept derniers cas du ta- 

 bleau précédent. 



Toute fonction rationnelle <p (t) où t serait racine multiple d'une équation 

 (p(t) = b, h ayant une valeur différente de 0, 1, co, se ramènera par une sub- 

 stitution linéaire à une fonction rationnelle où les racines 0, 1, co vérifieront 

 l'une des équations (p(^t) = 0, (p(t)=l, cp (t) = co . Celle-ci donnera lieu à 

 une identité de la forme (13) où la relation (15) ne sera pas vérifiée. En 

 définitive, toute intégrale de l'équation de Kummer conduit à une formule (13). 

 et nous ne nous occuperons désormais que du cas où la relation (15) est sa- 

 tisfaite. 



III. 



[11.] Je me propose maintenant de calculer un certain nombre de ces 

 identités, en particulier celles pour lesquelles un des nombres m, w', p, est 

 égal à l'unité. Je remarque qu'on peut toujours dans une formule de ce 

 genre supposer les quantités 0, 1, œ remplacées par trois quantités arbitraires 

 «j, «2, «3, ce qui revient à effectuer une substitution linéaire. D'une identité 

 de la forme (13) on peut en déduire cinq autres de même forme en changeant 



t en 1 — ^, -' 1 — ^, :j .■ - — T' — - — 1 chacune d'elles fournit six intégrales ra- 



