EecJiercIicti sur Véquation dp Kummer. 77 



tionnelles pour l'équation de Kummer, que l'on obtient en changeant x en 1 — x, 



1 1 X X— 1 



-■ ^ — -• T' Chaque identité de la forme (13) peut donc fournir 



au maximum trente-six intégrales rationnelles pour l'équation de Kummer; je 

 ne considérerai point ces transformations comme distinctes et j'écrirai seulement 

 une des formules dont on peut les déduire, avec un système de valeurs con- 

 venables pour A, (i, r, X', ;«', v que je supposerai positifs. 



Les idendités déjà connues sont très-utiles pour en obtenir de nouvelles, 

 comme on le verra plus loin. J'emploierai en outre pour faciliter le calcul 

 un certain nombre d'artifices qui sont suggérés dans chaque cas particulier 

 par la forme même de la formule à obtenir. Ecartant le cas singulier où 

 deux des nombres m, n, p seraient égaux à 2, je suppose m =^ 2,n = 3,p^d, 

 f— 1. Les équations (15) et (16) deviennent 



N -yN' A- »'= 4 



i\^ + 2 »»'= K' + 3 h'= JY"-f p, 



N + N'+ N" ^ 3. 



Prenons d'abord n=l; ce qui entraîne iV+iV"'=3. On aura à consi- 

 dérer les quatre combinaisons suivantes : 



(iY=0, N'=3), {N=l, iY'=2), {N=2, N'= \), {N=3, N'=: 0). 



T'' Cas. Soit N = 0, N'=3. L'équation (p{t)^l, admettra trois racines 

 qui auront l'une des valeurs 0, l,co: elle pourra avoir une racine triple, ou 

 une i-acine double avec une racine simple, ou trois racines simples. Si on a 

 affaire à une racine triple, on pourra supposer que c'est la l'acine /! = 1 et on 

 aura une identité de la forme 



que la transformation t = y u changera en 



p:-Q:=f{t-iy, 



p, étant du troisième degré et Q^ du second. Nous connaissons les formules 

 de cette catégorie: ce sont les identités (22) et (23) et celles qui s'en dé- 

 duisent. Liversement, soit a une racine de l'équation 16^—16^-1-1=0; si 



dans la formule (23) on change t en rT" ' on sera conduit à une des 



^ ^ " au + 1 — Ci 



formules en question. Le nombre p aura une des valeurs 2 ou 4. Je ferai 

 remarquer de plus que l'identité précédente est une de celles dont il a été 

 question au n"' 9. 



