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E. G OURS A T. 



Si l'équation (f {i) = 1 a une racine double et une racine simple, on pourra 

 supposer que la racine simple est t=\ et la racine double t — 0, et on aura 

 une identité telle que 



Q Gt II étant du premier degré et P du troisième degré ; le nombre ^j pourra 

 avoir l'une des valeurs 3, 4, 5. 



Si on avait p = S, l'équation P^— i2'= devrait avoir trois racines di- 

 stinctes seulement, une triple, une double et une simple ; uu calcul direct 

 prouve l'impossibilité d'une pareille formule. 



Si on a p = 4, on en déduira 



l->---B'=f{t- 1) Ö*; 



or, l'équation P"' - P'= se dédoublant en deux équations distinctes du 

 troisième degré, l'une d'elles devra admettre un facteur triple et la seconde 

 un facteur double et un facteur simple. On aura par exemple 



P + R'= C . Q\ 



et par suite 



2li"-= C . Q'--(jf {t- 1). 



On est encore ramené ù une identité connue; c'est la formule (20). Po- 



sons : 



P = 



1 



(4-3 0^'+ 27 t\\ - t) 



B' = 



1 



1 



on en déduit la nouvelle formule 



(32) (4-3 ty+ 27 f (1 -t) ' - (9 ^ - 8)'= 108 f{l - t) {4 - 3 tf. 



Prenons p - 5 ; une substitution linéaire conduit à déterminer a, l, m, n de 

 façon que la différence {l f+ m f+ nt+ If— {t + 1) (« t + 1)' soit divisible par f. 

 On aura le système d'équations 



3 « + 1 = 2 M, 3 ar+ 3 a = tv+ 2 m, «'+ 3 «'= 2 / + 2 m «, «'= »«'+ 2 l n, 



