Recherches sur Véquation de Kummer. 



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et rélimiiiatiuii de /, ni, n duiiuo 1 — 9 « + 4 (3 « -h 1) = 0. Ou on tire succes- 

 sivement: 



1 



32 



« = — Ö, » 



2. m — — ß) l — oy' 



et un a l'identité 



(32 f- 9 f- 54 t i- 27)'- 27 (^ + 1) (3 - 5 0'= ^" (1024 t - 576), 



9;; -25 

 que 1 un ramènera à la turme normale en changeant t en . „ , , 



(25 27 r{t- 1)(3H- 125)-'-4(9^-25)'l=|2(9i!-25)'-9^(9^-25)' 



(33) ^ , V 



/ -54. 16. r(9/- 25) + 27. 16 t' ^ 



On peut remarquer l'identité de cette formule et de la formule (I) de 

 Mr. Beioschi (Annali cU Mathematica, tome X, 2'"" Série, p. 127.) 



Enfin si l'équation 9 (t) = 1 a trois racines simples, on aura N"— et 

 par suite p = &. L'identité sera de la forme t [t~ 1) Q'= P'— M", F étant 

 du S^"'" degré, Q et R du premier ; l'équation P"— E" = se dédouble en deux 

 équations distinctes du troisième degré dont l'une devra admettre une racine 

 triple. On aura par exemple 



l'-Ii'=^.t{t-i), 

 et par suite 



2E'=C. Q''--^t{t-l), 



qui est également une identité de forme connue (25). Il faudra prendre 



p={t+fy--oj{j-i)t{\-t), 



lt'= {t +jy+ 3 j -l)f[i-t) = {t +.y)*; 

 on en déduit la nouvelle formule 



(34) [{t+ry- 3 ; (j - 1) ^1 - /)]' - {t + jr=-12j (y - i) t {1 - t) (t +/)'• 



2"'" Cas. Soit N=l, N'=2. L'équation (f (t) = 1 peut avoir une ra- 

 cine double ou deux racines simples. Je suppose d'abord qu'elle admette une 



