Recherches sur Véquation de Kummer. 



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(luit à déterminer deux polynômes It^l, mt-\-l de façon que (/^+1)' — 

 {in t + 1)^ soit divisible par f. On trouve ainsi la formule 



(38) (4 t + 3)'- 27 {t + 1)^= - ei-ll f-+ 44 t + \8), 



que l'on ramènera à la forme normale en posant t = a + {ß — «) u, a et ß dé- 

 signant les deux racines de l'équation 27 i^+ 44 ^ + 18 = 0. 



4'""' Cas. Enfin si on suppose N'= 0, N—S, on aurait m'= 0, contrai- 

 rement à l'hj'pothèse. 



[12.] Conservant les mêmes valeurs pour m, n, p', faisons n'= 2. On 

 aura N +i\"= 2 et par suite trois cas à examiner : 



(.V=0, .V' = 2), (.V=xV'=l), (.V = 2,.Y'=0), 



1" Cas. Soit N — 0, A"'= 2. L'équation ^ {t) — \ peut avoir une racine 

 double ou deux racines simples. Sui)posons d'abord qu'elle ait une racine 

 double ^ = 00 ; ou aura une identité telle que 



P étant du quatrième degré, Q du second et B. du premier. Eu définitive, 

 la question revient à déterminer un polynôme du quatrième degré P et un du 

 second Q de façon que l'équation P"^— Q^=0 ait seulement trois racines di- 

 stinctes. Appelions a, |3', / les degrés de multiplicité de ces racines rangés 

 par ordre de grandeur décroissante ; on aura encore 5 cas à distinguer : 



3 



3" 



2 



Soit r/=6, (3'=/=l. Par une substitution linéaire on est ramené à dé- 

 terminer ?, m, n, a de façon que {lt'+ m f+ n t''+ 2 t + 1)'- (a f- + 2 t + If 

 soit divisible par f; le calcul conduit à une identité évidente. 



Soit «'=5, /3'= 2, /=1. Un changement linéaire de variable ramène 

 l'identité à déterminer à la forme 



P'-s'E^^iz-iy-Q^ 



p étant du 4*"' degré, Q du second et B du premier. Posons encore ^ = u''; 



l'équation 



[PK)J 



B{u') 



se dédouble en deux équations distinctes du 



gème ^ggj.(i_ Or le second membre admettra quatre facteurs triples et deux 



u 



