EechercJies sur Véquatlon de Kummer. 83 



l'une au moins est du quatrième degré, et par suite ne peut avoir deux racines 

 triples seulement. 



Soit «'=4, |i'= 3, /= 1. Ce cas ne peut rien donner car une identité 

 de la forme 



permettrait de passer de l'équation hypergéométrique (^ = ö, f'=q, ''=7) ^ 



l'équation ( A' =2) f— 1) ''= q ) <^t celle-ci devrait s'intégrer algébriquement 



comme la première: ce qui n'a pas lieu puisque >! + 1 < fi'+ i-'. 



Supposons en second lieu que l'équation cp (/) = 1 ait deux racines simples, 

 par exemple ^ = et ^ = 1 ; on aura une identité de la forme 



F'~ t{t-l) Q'= B", 



F étant du quatrième degré, Q du second et B du premier ; le nombre entier 

 2) pourra avoir l'une des valeurs 3, 4, 5, 6, 7. Je remarque en outi-e qu'une 

 substitution linéaire ramène le cas de p = 3 au cas de ^ = 5 ; il suffit donc 

 de supposer ^ ^ 4. 



Soit p = 7. Une transformation linéaire ramènera l'identité à la forme 



P--t'=cf>{t) V'W 



/«" =0 



<f: et il) étant du second degré. Posons t = u', l'équation F(u'') 



se dédouble en deux équations distinctes, dont chacune devra admettre deux 

 racines triples et deux racines simples. Il faudra donc que l'on ait 



P (u-) + u'= {l «■'+ m u + 1) (« tf-+ b u + ly, 



et le produit contenu dans le second membre ne devra pas contenir de termes 

 en M, 11% II'. On a les équations de condition 



3b + m = 0, 6ab + b'+ Sab m + 3 b^rn + dbl = 0, 

 3 a'b + 3 a'' m + 3 a Vm + Q a b l = 0-^ 



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prenons b = 1, m = — 3, les deux autres équations donnent « = — ^, Z =0 et 



on a la formule 



P - 72 u'= (7 U-- 9 M + 3) {u'- du-Sy, 

 eu posant 



P=7m"+210m"-567î<^+3 78w'-81. 



