Recherches sur Véquation de Kummer. 



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minons « et & de façon que le produit {z — 1) {a z''-{- h z -\- 1)' ne contienne pas 

 de ternie en z' ni en z'\ on aura les conditions b = a + b', ab = a + b'\ d'où 

 on tire a = l, b"— & + 1 = 0. On en déduit la formule 



z^z"- (3 j + 1) z'+ (3i + 1)] - [ (3 y + 1) /■- (3,y + 1) ^H 1 



= (.■-!)(.- ;.■ + !)■. 



Changeons s successivement en j z, fz et multiplions les trois égalités membre 

 à membre; il vient, en posant z'=ii 



(44) 



ir- {Sj + 1) u + (3 y + 1)]'- [(3; + 1) u'- (3i + 1) m + 1 

 = {u-l)\u-+ {dj~l)ii+lX. 



Soit 



F = Lu \u--{Sj+l)u + {3J+ l)j' +i(M- l)[w^+ (3; - 1) u + 1 ]' 



= i(2M - 1) j u'{u-iy+ Aii''{u-iy+ Bu{u- 1) + 1 1 , 



A, B étant des coefficients numériques dont il est facile de trouver la valeur ; 

 en tenant compte de la formule (44) on obtient la nouvelle identité 



(45) 



(2 •«-!)' itXu-iy+Au\a-iy + Bu{ii-l) + l - {3j + l)u{u-l) + l 



■■4h(u — 1) 



u-(u - 1)"-- (3 / + 1) (3; - 2) u (m - 1) + 3j + 1 



que l'on ramènera h la forme normale en posant 4u(^u — l) = t. 



Soit i) = 5. Une substitution linéaire ramène l'identité à la forme 



tP'-B"-={t-l)Q% 



P étant du S^""" degré, Q du second et B du premier. Posons /! = ?/; l'équa- 

 tion u'' F''— B-= se dédouble en deux équations distinctes du 7*"' degré dont 

 chacune devra admettre deux facteurs triples et un facteur simple. On aura 

 par exemple 



u P (m^) - B (u') = {u -l){an' + b u + 1)', 



et le produit contenu dans le second membre ne devra pas renfermer de termes 

 en u" ni en ««*; ce qui exige que l'on ait 



a'- 3 à'b = 0, 6ab + b'- 3 a'- 3 a V= 0. 



