Eecherches sur Véquation de Kummer. 87 



(48) ! ('"^^ ^-81)'+ ^256 t"-- USt+ 189)^= (^- 1) [(16 ^- 9)'+ 216 /- 512 /^ 

 ( -144^(16^-9) 



.r"' C'rts. Soit iV = 2, N'=0. L'équation (f{t) = (d pourra avoir deux 

 racines simples ou une racine double. Supposons d'abord qu'elle ait deux racines 

 simples ^ = et t=l; l'identité sera de la forme 



P et Q étant du second degré, B du premier. Le nombre entier ^j pourra 

 avoir l'une des valeurs 5, 4, 3. 



Soit ^ = 5. Un calcul facile donne la formule 



(49) (5 m'- 20 u + 4y+ 3456 u'= (1 25 tr- 44 u + 4) (m' + 8 u -4)% 



que l'on ramènera à la forme normale en posant u = « + (|3 — «) f, a et ß dé- 

 signant les deux racines de l'équation 125m'— 44^< + 4 = 0. 



Soit jj = 4. L'identité s'obtient directement eu changeant x en (2^—1)'^ 

 dans la formule (a;-4)'+ 27a:^=(.T + 8)' (,t- 1), qui se déduit elle-même de 

 la formule (20). On trouve ainsi 



(50) (4f-4^-3)^+27(2^-l)^=4^(^-l)(4f-4^-9)*. 



Si p = 'å, en changeant t en (2 1 - 1)" dans la formule (25), on obtient 

 la nouvelle formule 



(51) (4 f- åi-jy- (4 r--åi-jy= njij- i){2t-iyi{i-t), 



que l'on ramènera ensuite à la forme voulue par une substitution linéaire. 



Si l'équation cf>(t) — avait une racine double, l'identité serait de la 

 forme 



P et Q étant du second degré et B du premier. Cette identité rentre dans 

 la catégorie particulière du n° 9 ; elle se déduit par une substitution linéaire 

 des formules (22) et (23). 



[13.] Soit n'=3. On aura iV"+iV'=l, et par suite deux cas à di- 

 stinguer. 



T' Cas. N=l, iV'=0. L'équation (f{t) = admet une racine simple; 

 supposons que cette racine soit t = txi . On aura m'=4, et la question revient 

 à trouver un polynôme du quatrième degré P et un du troisième Q de telle 



