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E. G o U R s A T. 



façon que l'équation P'— Ç'=0 n'admette que 3 racines distinctes. Soient 

 ce, ß', y les degrés de multiplicité de ces racines rangés par ordre de gran- 

 deur décroissante: on aura sept cas à examiner 



7 



T 



r 



Soit «'=/3'=/= 3. L'identité serait de la forme P^= Q'- f {t-iy R'; 

 l'équation Q''—f{t—lYE'=Q se dédouble en trois équations distinctes dont 

 deux au moins sont du troisième degré. L'équation P"= aurait donc des 

 racines d'un ordre impair de multiplicité. 



Soit k'=4, |3'=3, y'=2. Par une substitution linéaire, on est ramené à 

 une identité de la forme 



(r-f-R'={t-i) p\ 



Posons (! = w'; l'équation Q'—u"B''=0 se dédouble en trois équations di- 

 stinctes dont chacune devra admettre un facteur simple et quatre facteurs 

 doubles. On aura par exemple 



Q {u')-n' R{u') = {il - 1) {au' + h u'+ cn'^ du + 1)% 



et le produit contenu dans le second membre ne devra pas contenir de termes 

 en m", u\ u\ u. On aura les conditions 



d--2ab = 0, F-+2ac-2ab = 0, 2b + 2cd~c''-2bd-2a = 0, 2d-l=0, 



d'oîi on tire i = —4, « = — 8, c = — 3, d = -. En effectuant les calculs, on 



' ' ' 2 



trouve en effet 



2\u'- 2\ 3 . M"-h 21 u'- 4 - «^ (108 u'- 27) = {u - 1) 



{(ju'+8u' + ßu'-u-2 



changeons u en ju, puis en /'«, multiplions les trois égalités membre à membre 

 et posons u-'=t, il vient: 



(52) 



2\f-2\3f+2lt~i 



- r- {108 1 -27y = {(-]) {8(-2y+t{iQt-iy 



+ 2Uf-\8t{lQt-l){St~2) 



On obtient une autre formule en changeant t en 



