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Recherches sur Véquation de Kummer. 89 



2" f- r. 3 . i!'^ (4 < - 3) + 2 U (4 ^- 3)''- 4 (4 < - 3)' - 3"\ f (4 ^ - 3)' 

 ( = 3(l-/')[2ir)(4i'-3)+^(12< + 3)' + 216f(4^-3)'-108/(12;+3)(4^-3) 



Soit fi'=(3' = 4, /=1. On aunait une identité de la forme tP"—[t--\yB* 

 = Ç'; changeons t en ?r, l'équation ti" P'-—{ti^—\y B' se dédouble en deux 

 équations distinctes dont chacune ne pourra avoir que des racines triples. On 

 aura par exemple : 



uP-{îf~\yB'=Q''% 



et par suite 2 (ir-iy B'= Q"~ Q"\ Mais l'équation Q"- Q'"=0 se dédouble 

 en deux équations distinctes dont deux au moins sont du troisième degré ; 

 l'équation (u"— "[y B''=0 ne pourrait donc avoir toutes ses racines d'un de- 

 gré pair de multiplicité. 



Soit «'=5, /3 = 3, ;''=!. On aura une identité de la forme 



Q'-tB'={t-l)P-, 



si on pose f, = n\ l'équation Q'—ii''B^=0 se dédouble en 3 équations distinctes 

 dont chacune doit admettre une racine simple et quatre racines doubles. On 

 aura par exemple 



Q{u')-uB(u')^{u-l) (an'+hu'+ c-«'+ du + l)^ 



et le produit contenu dans le second membre ne devra pas renfermer de termes 

 en m", u\ u% u^; ce qui fournit les conditions : 



a--2ab = 0, 0'+ 2 ac-2ah^0, 0"-+ 2 a+ 2h(l-2 a(l-2h d = 0, 



fr+2c-2rf = 0, 

 d'où on tire 



2' , 2° 3 . 2' , 2' 



a = — — , /; = — c= — — -— , « = — 



g., 5" 5" ' 5 



En développant les calculs on trouve 



2". m'-2'\ 3.5.m'-2\ 5.43.m'-5'+3\m(2'. w'-5') 



:(m-1) 



2\u'+ 2\u'+ 2\^.u--2\ô.u-5'' 



De cette dernière on déduit par le procédé déjà employé plusieurs fois, 



