Recherches .sur l'cqau/iun de Kummer. 



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et Cil portant ces valeurs dans la seconde on obtient jiour b la valeur] et par 



suite on aura 



3 5 63 _35 _21^ 



\^) " — 0) 39' "* "" 8 ' '* ~ 4 ' 



En effectuant les calculs, on trouve en effet la formule 



|(63mH 140«^' + lü8<r+9G'« + 32)'-16(3M^'+ 10«r+8« + 4)' 

 ^^ ' I =9w'(48«*''+39m + 24), 



que l'on ramènera à la forme normale en posant î( = « + ((3 — a) t, « et /3 dé- 

 signant les deux racines de l'équation 48«r-|- 39 m + 24 = 0. 



j^i"'" Cas. N = 0, N'=l. L'équation (15) donne m'=5, et la question 

 revient à trouver un polj'nôme du cinquième degré P et un polynôme du troi- 

 sième Q de telle façon que l'équation F"— Q'=0 ait seulement trois racines 

 distinctes. Soient te, ß', y les degrés de multiplicité de ces racines rangés 

 par ordre de grandeur décroissante ; on aura à considérer les cas suivants; 



Soit </= 4, |i'=;/'=3. Par une substitution linéaire on aura une identité 

 telle que 



Posant t = %v, on en déduira une nouvelle formule 



l\%r) - %e \b (;r)J" = {u - 1) (a m' + i w + cu+ 1)] 



et le second membre ne devra pas contenir de termes en u, u\ et les termes 

 de degré impair, divisés par «<" devront former un carré parfait. Le calcul 

 conduit à des équations incompatibles. 

 Soit k'=|3'=4, /=2. On aurait 



et le premier membre se dédouble en deux facteurs distincts dont l'un au 

 moins est du 5'"° degré et par suite ne peut avoir tous ses facteurs triples. 

 Soit «'=5, |3' = 4, /=1. On aura 



