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posant t^u", il faudra que l'un ait 



P (m"-) + u R (ir) = (m - 1 ) (« II' + Ij ,r + c u + d)\ 



et le second membre ne devra pas contenir de termes en n\ u\ et les termes 

 de degré impair, divisés par u devront former un carré parfait. Le calcul un 

 peu long ne présente pas de difficultés est on et conduit à la formule 



3'=. <«'°-2.3". 5.m"+3". b\ Vd.u:-2\ 'd\ 26d.u'+2\ r. 5\ u"-+2'°- 



+ 2\ îi(3\ u"-~2'. 6y={u-ï) 8lu'+27ir-72u-l6 



Si on change u en —u, qu'on multiplie les deux égalités membre à 

 membre, puis qu'on pose u'=t, on parvient à l'identité 



(56) 



3"-. f- 2.3'\5.t'+ 3'. 5\ 13 . f- 2\ 3\ 259. f-. + 2\ 3\ b'\ t + 2' 



- 2". t {3\ t - r. by= (t-1) t (Sit- 27y~ (27 ^ - 1G)^ 



80^ 



Changeons dans cette formule t en ^^ ■_ , ; on obtient une nouvelle iden- 



tité 



(57) 



[2'". 3'\ b\ e-r\ 3". 5\ r(8U-l) + 2^\ 3'. 5\ 13^ («u- 1)'^ 



- 2'^ y. b\ 259. f (SI ^-1)^'+ 2'\ y. b\ t (81 t-\y^- 2'\ (8i t-iy ' 



-2"-". b\t[^\t-\y 



= {\-t) 80^(81. 53.^ + 27)'-(8U-l)(27. 32.^+ 16)"-!' 



Soit f/=5, (3'= 3, y — 2. Une substitution linéaire ramène l'identité à la 

 forme 



P^-f i?^=(^-l)('^'; 



par un artifice déjà employé, on est conduit à déterminer a, 6, c de façon que 

 le produit {u—\){a'U^-\-l)u"-\-cu-\-\y ne renferme pas de termes en u\u\u. 

 On trouve ainsi la formule 



3'. iC- y. 5. iC- 2. y. b\ u"- 2. 5^ 7. u'- 3\ 5\ u'- 27 - 2. 5. u' (7. 3^ «r+ 2") 



= (m - 1) (27 ii'+ 9 w^+ îi + 3)'; 



en opérant comme tout-à-l'heure, on en déduit: 



