Recherches sur Véquation de Kummer. 



A r+ BV+C e+ D f+ Ei + F 



I6t 



95 



7i -' 



(60) 



4(^-1) 



' ■ /l/2l^ + '^-9;i/2 



^'--2^)'"('^2^2 



^ + 9^•l/2)^ + I-^■^/2 



[14.] Soit w'=4; on aura N=N'=0, m — G. La question revient à 

 trouver un polynôme du 6""" degré P et un polynôme du quatrième degré Q 

 de telle façon que l'équation P^— Q"— n'ait que quatre racines distinctes, y 

 compris la racine t — co . Soient a, ß', y, d' les degrés de multiplicité de ces 

 racines, rangés par ordre de grandeur décroissante; on aura à considérer les 

 cas suivants : 



Soit k'=P'=/=(5'=3. L'identité correspondante a déjà été obtenue; c'est 

 la formule (28). 



Soit (/= ß'= 4, /= 3, d' = L On aurait une identité telle que P'- f{t - 1)* R 

 = Q\ R étant du premier degré; en posant i = M", on serait ramené à dé- 

 terminer a, h, c, d de façon que {au*+bîi'+cu''-t du+ \y ne contienne pas 

 de termes en u et que les termes de degré impair, divisés par u% forment un 

 carré parfait. On trouve qu'il faudrait prendre d = 0, h = et on aurait par 

 suite B — 0. 



Soit «'=^'=4, ;/=(i'=2. On obtient sans aucun nouveau calcul la for- 

 mule suivante. Posons 



P+6j{j-l){2t-iy-t{l-t) = {4f-4t-:n\ 



p-Gj{j-i){2f~\yt{i-t) = {åf--4t-jy, 



équations compatibles en vertu de la relation (51); on en déduit, en les mul- 

 tipliant membre à membre 



(61) P'- 36 f (;• - 1)^ r- (1 - ty (2 ^ - 1)^ = [(4 f- 4 f -j) (4 f- 4 1 -/) 



Soit «'= 4, (3 = /=3, à'= 2. On aurait une identité telle que P'- f {t - \yR* 

 — Q"; en posant t=-u% on serait conduit à déterminer a, h, <\ d de façon 



