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que {au''-\-hu^+cu-+ du+ ly ne contienne pas de termes en «(, ni en «("; 

 on aurait h = d = et par suite i? = 0. 



Soit ((=zß'=ö, j/=ö = l. Dans la formule (49) changeons i en . . .y 



nous aurons la formule voulue. 



Soit ci'=5, (3'= 4, 3''= 2, ô'=l. On aurait une identité telle que P^ 

 - f[t— ly R*= Q^\ en changeant t en u', on serait conduit à déterminer a, h, c, cl 

 de façon que [au^+hu''+ cu-+ dn+ ly ne contienne pas de termes en u, ni 

 en u\ On aurait donc d=b = 0, et par suite lî = 0. 



Soit «'=5, /3'=/= 3, ô'=l. On aurait Q'-f{t-iyR'=P\ En posant 

 t = u\ on sera ramené à déterminer l, m, n, p, q, r de façon que {In''^ mif" 

 + mt''+2^îi''+ qtr+ru+ \y ne contienne pas de termes en m, u'', u\ u\ u"". 

 On aura donc successivement r = 0, g = 0, «. = 0, m = et par suite 11=0. 



Soit «'= 5, (3=3, /= d'= 2. On aurait P'- t' {t - ly R'^ Q'; en posant 

 t^u"-, il faudra que {au'+ b u''+ cu''+ du + ly ne présente pas de termes en 

 il, u\u'\ On aura h = d = et par suite i? = 0. 



Soit «'=6, ^'=4, j''=d'=l. Un calcul analogue aux précédents montre 

 que l'identité est impossible. 



Soit «'=6, (3'=3, }''= 2, d'=l. On a 



Uu'~8 \/5u'- 6 «^- lj'= P(«.^) - 216 l/3"(wV !)'("'+ J- 



changeons ^^ en - «f, multiplions les deux égalités membre à membre et po- 

 sons u-=S] il suffira d'une substitution linéaire pour ramener l'identité à la 

 forme normale. 



Soit «'=6, |3'= /= d'= 2. On aurait 



p'-f {t-\y R'= c/ 



et par suite 



p+t(t-i)R'=(r, 



P-t{t-l)R'=Q"\ 

 2t{t- 1) R'= Q"- Q"\ 



Mais Q' et Q" étant du second degré, l'équation Q"- Q"'= ne peut 

 avoir de racine triple. 



Soit «'=7, /3'= 3, 3''=d'= 1. On aurait une identité telle que 



P'- t (t - ly R'= Q\ 



qui permettrait de passer d'une équation à intégrale générale algébrique à une 

 équation dont l'intégrale générale n'est pas algébrique; ce qui est impossible. 



