Hechenhis sur l'cquafioii de Kummer. 



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des transfurniatiuns de séries liypergéométriques les unes dans les autres. On 

 peut obtenir ces transformations sans aucun nouveau calcul ; considérons 

 l'équation 



du 



(30) 



/1 \ d'y 



j' - {ic + (3 + 1) X 



dx 



tciii/ = 0, 



ou 



7"= 



m — 1 



m 



2 \ m n 2^J 2 \ p m ni 



et considérons une identité de la forme (1 3). Si dans l'équatiou (30), on fait 



le chanuement de variable 



^ = ^^' 



la nouvelle équation en t admettra les points singuliers 0, 1, co avec des 

 exposants de discontinuité faciles à calculer et en outre elle aura aussi comme 

 points critiques les racines de l'équation B = 0, ces derniers avec les expo- 

 sants de discontinuité p a, pa+\. En posant y = f {i - If B''" v, on sera ra- 

 mené à une équation de même forme que l'équation (30). Pour prendre un 



1 25 7 



exemple, soit /« — 8, m = 3, p — 2; on aura « = .o> (^ = ,û' ?' ~ô' ^* l'équa- 



48 4o o 



tion correspondante sera 



(69) 



^ \lx- L8 24. Idx 48= -^ 



Posons dans cette équation 



X — ' 



432^(1-0^1 +ty 



f+ 126 f- 1041 t'+ 1764^- 1041 e+ 126^+1 



]' 



d'après la formule (62), la nouvelle équation en t admettra les points critiques 



0, 1, 00, et les racines du dénominateur de l'expression précédente, ces der- 



1 25 * 

 niers avec les exposants de discontinuité -^. et ^. Si donc on pose 



24 24 



f + 126 e~ 1041 t'+ 1764 f- 1041 €'+ 126 H- 1 



l'équation en v n'aura plus que les points singuliers 0, 1, œ , et l'on recon- 



