Recherches sur Véquation de Kummer. lOft 



des équations en supposant que les deux équations P = 0, Q = Q sont réci- 

 proques. 



Soient ;y„, v/, deux intégrales linéairement distinctes de l'équation (9) et 

 v„, '«\ deux intégrales linéairement distinctes de l'équation (10); l'intégrale 

 générale de l'équation (11) sera, comme on sait, 



a, h, c, cl étant des constantes arbitraires. Posons 



et soient x = F{u), t=F^(w) les fonctions inverses. Dans les cas qui nous 

 occupent, où s'appliquent les formules (41), (55), (60), (G2), (63), (68), il ré- 

 sulte de la note déjà citée de Mr. Halphen que x et i sont des fonctions 

 uniformes de u et de w, et que ces fonctions sont des fonctions fucJisiennes. 

 L'intégrale générale de l'équation de Kummer sera donc fournie par les for- 

 mules 



' au + b^ 

 + 



x = F{u), i=F(^^), 



F et F, désignant des fonctions fuclisiennes, et les formules en question nous 

 donnent une relation, algébrique entre ces deux fonctions fuclisiennes. On peut 

 du reste reconnaître, en appliquant la représentation géométrique de Mr. Poin- 

 CARÉ, que ces fonctions fuclisiennes ont un groupe commun, qui est du genre 

 zéro. 



La formule (59) conduit à une particularité d'un autre genre ; dans ce 



cas, en effet, t n'est plus une fonction uniforme du rapport -t des intégrales, 



mais la formule nous montre que t est racine d'une équation, du dixième de- 

 gré au plus, dont les coefficients sont des fonctions fuclisiennes de ce rap- 

 port. 



[20.] Soit 2 + ;< -f j' = 1 ; l'équation du second ordre correspondante 

 pourra être ramenée à l'une des suivantes 



x{x—\) y"+ -X -[--{x- 1) ?/'= . . . m — n= p ^ 3, 



L3 3 



■2 



.3' 



x{x-l)y"+\'^x + \{x-~l) y'=0 . . . m = 2,n = 3,p = 6, 



