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//'= . . . III, = 2, n =^J = 4, 

 dont les intégrales générales sont respectivement 



xix-^l)y"+[lx + ^{x-l) 





JxHx-lf 





X' (x — 1] 

 dx 



{x - ly 



dx 



x' (x-ïf 



et s'expriment, comme on voit, au moyen des intégrales ellii)tiques de première 

 espèce. Il est aisé de démontrer que le problème proposé n'est dans ce cas 

 qu'un cas particulier du problème de la transformation des intégrales elliptiques. 

 On pourrait l'établir en partant des équations hypergéométriques, mais on peut 



le voir plus simplement; soit +- + -=1 et considérons une formule de la 

 forme (13) répondant à ce cas. On aura 



x=t'{t-iy-^^, ^ - 1 = r'(^ - ir|,, ^=6'r(^-ir-^,^T-. 



/•, r, >•", s, s', s" étant des nombres entiers positifs, négatifs ou nuls; par 

 suite, il vient 



dx 



X '» {x — 1) « 



ou 



dx -, d t 

 — o — ,, 



m—1 n — 1 



x,n{x-\yir t {t -Vf 



et l'intégrale contenue dans le second membre sera forcément de première 

 espèce. Sans rien emprunter à cette théorie, je me propose de montrer com- 

 ment on est conduit facilement à une solution générale. Des équations (15) 

 et (16) on déduit en éliminant iiî et n 



