Ilrrlirrchcs sur Vé(iHatimi de Kummer. 111 



+^'+A'"(,-L_lW„'(i_i_l_l)=i,. 



M \ m n I \ m n pi 



N . N' 

 m 



relation qui devient, dans le cas actuel, 



(72) ^+^T+^:=,. 



m n p 



Considérons le cas où m = n = p = o; nous retrouvons la relation déjà 

 obtenue N + N' + N" = ^. On a vu plus haut que tous les systèmes de so- 

 lutions étaient compris dans les deux suivants 



m'= n = p'+ 1, i\=N'= 0, iY"= 3, 

 m'^n'^p, N = N'=N"=1. 



L'identité (13) aura l'une des deux formes suivantes 



(73) {P.„+ù'-iQ.n,ir=t{i--i){B.„)\ 



(74) iP,„y-t(Q,„y~if-i){B,„y, 



P, Q, M étant des poljnômcs d'un degré marqué par leur indice. Prenons 

 d'abord la première forme, l'équation (-P,„+i)'— (Ç,„f ])'= se dédouble en trois 

 équations distinctes dont l'une sera de degré w, les deux autres de degré 

 Di + 1. Si m est de la forme 3 q, on devra avoir par exemple 



P-Q = P'\ 



P-.iQ = fQ'% 



p~fQ-^{t-i)B:\ 



et on en déduit entre P', Q', S une relation de la forme (74). Si m était 

 de la forme 3(^+1, l'identité (73) serait impossible; enfin si on a m = 3(/ + 2, 

 on en déduira 



p-rQ = B:\ 



et par suite une nouvelle formule de la forme (73), mais de degré moindre. 

 En continuant ainsi, on sera ramené soit à une identité de la forme (13) où 

 m sera nul, c'est-à-dire à la formule (25), soit à une identité de la forme (74). 



