112 E. Go UR. s AT. 



En résumé, on est toujours ramené à déterminer trois polynômes de même 

 degré P, Q, R telsque l'on ait 



P^- t Ç'= {t - 1) ii-^; 



en posant t = u'', il faudra que l'on ait 



P{u') ~uQ (m') = {u - 1) Lu'"+ h u"-'+ . . . H- l['. 



Le problème revient donc à déterminer un polynôme a 11'"+ h u"'~'^ + . . . + 1 

 de telle façon que le produit {u— 1) (au"'+ b u"'~^ + . . . 1)^ ne renferme fas 

 de termes de la forme 1^''^". 



Inversement tout polynôme satisfaisant à cette condition donne une iden- 

 tité de la forme (74). 



Si on écrit cette identité sous la forme 



U-f) !''+ (/- 1) i Q'+ (1 -.;) {t - 1) Q'= 0, 



on en déduit une nouvelle formule de la forme (73) 



f- ffl = t{t-l){PQ R)\ 

 en posant 



T-(D = p^T-.7Ô = ^ö^T-/Ö = (^-l)p^ 



et de la même manière une identité de la forme (74) en donne une nouvelle 

 de même forme ; ce procédé revient à combiner avec la formule (25) une des 

 formules (73) ou (74). Plus généralement on peut remarquer que deux for- 

 mules quelconques de cette espèce en donnent une nouvelle par leur combi- 

 naison, et que l'on a toujours ;i' = («' = ?>'= _. 



3 



[21.] Soit m = 2, w = _p = 4. La relation (72) devient 2 JV -j- iV' + iV" = 4 ; 

 on ne peut avoir N=2, car on en déduirait N' = N"=0 et par suite 

 N + N'+ N"<d. Les systèmes de solutions des équations (15) et (IG) se 

 l'amènent aux trois suivants: 



m'= 2 p, n = p\ N = N'= N"= 1, 



w'= 2p'+l, n = p, N=0, N'=N"= 2, 



m'= 2p+ 2, n = p+ 1, N = 0, N'= 0, N"= 4. 



L'identité (13) aura l'une des trois formes ci-dessous: 



