Recherches sur Véqnatiou de Kummer. 117 



pour les formules (78), (79), (83) et (85) on a A' — -, ;''=;r, '''=77) ''-'j ."'> ''' 



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étant rangés dans un certain ordre. Pour les formules (80), (81), (84) on a 



X'—ii'^v'—-. Enfin pour les formules (86) et (87) on a ;/=«' = _, r'=-. Ces 

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dernières nous montrent que les intégrales de première espèce 



dt n dt 





f{t-\y Jf(t-Vf 



n'ont que deux périodes distinctes, puisqu'une substitution algébrique les ra- 

 mène à des intégrales elliptiques de première espèce. On a ainsi un exemple 

 intéressant de réduction du nombre des périodes dans une intégrale abélienne; 

 la courbe correspondante est du genre 2. 



[23.] Les cas d'intégration algébrique de l'équation de la série hyper- 

 géométrique correspondent, comme l'a montré Mr. Schwarz dans le mémoire 

 déjà cité, aux quatre types de solides réguliers: double pyramide, tétraèdre 

 octaèdre, icosaèdre. Les formules (22), (25), (49) ramènent les équations des 

 trois derniers corps à l'équation de la double pyramide, et conduisent à l'in- 

 tégration sans difficulté. 



On peut démontrer en toute rigueur que, dans chacun de ces cas, l'équa- 

 tion de Kummer admet une infinité d'intégrales rationnelles, pour des valeurs 

 convenables de X', n' v. Prenons par exemple l'équation de l'icosaèdre où 



X = -, f« = ô' '• = V- D'après le travail de Mr. Schwarz, il existe une infinité 



z, O 



d'équations hypergéométriques dont l'intégrale générale est algébrique, et pour 

 lesquelles le rapport >; de deux intégrales particulières admet le groupe de 

 substitutions de l'icosaèdre. Or on doit à Mr. Klein [3Iathematische Annalen, 

 Band 11, pag. 115) ce résultat important que l'on peut obtenir une quelconque 

 de ces équations en posant x = 9 [t) dans l'équation de l'icosaèdre, qp {f) dé- 

 signant une fonction rationnelle, et les valeurs convenables de X, ;«', v seront 

 données par le tableau de Mr. Schwarz. Je me réserve de revenir dans un 

 autre travail sur ces substitutions rationnelles. 



Dans le cas où on a m = n = 2, iJ 2! 2, les équations (15) et (16) de- 

 viennent 



