118 E. (t ou Ii s A T. 



N+2 m- N'i-2 n ^ N" i- 2 / ; 



si aucun des nombres N, N' n'est nul, on aura pour X et (t des nombres 

 entiers ou les moitiés de nombres entiers. Si N'=0, X sera un nombre en- 

 tier; dans tous les cas, une substitution rationnelle effectuée sur l'équation de 

 la double p^'ramide conduira à une équation également très-simple. Je laisse 

 aussi ces substitutions de côté pour le moment. 



[24.] Considérons une équation hypergéométrique pour laquelle on a 



« /3, -y, 



X= ' «— ' r= ■ où «,, ß. y, sont des nombres entiers et une identité 



de la forme (13). Si dans cette équation on fait le changement de variable 



;r, P'" 



X — — ! ) 



la nouvelle équation en t n'aura, outre les points 0, 1, co que des points 

 singuliers de seconde et de troisième espèce, que l'on pourra faire disparaître 

 en posant y = ivv. On ramènera ainsi l'équation en v h, n'avoir comme points 

 critiques que les points 0, 1, oo ; mais elle aura en outre des points singuliers 

 apparents que l'on ne pourra faire disparaître, à moins que l'on n'ait «,= ß= f^= 1, 

 c'est-à-dire dans le cas que nous venons d'examiner. Dans le cas général, 

 j'ai montré dans le travail déjà cité {Annales de VEcole Normale, tome XII) 

 que l'intégrale générale de l'équation en v s'exprimait au moyen de séries 

 liypergéométriques d'ordre supérieur. On est ainsi conduit à des transforma- 

 tions de séries hypergéométriques ordinaires en séries d'ordre supérieur. En 

 particulier si m, n, p ont l'un des systèmes de valeurs (2, 2, jj), (2, 3, 3), 

 (2, 3, 4), (2, 3, 5), l'intégrale générale sera algébrique quelles que soient les 

 valeurs de nombres entiers «,, ^^, y, et cela s'applique aussi aux équations 

 hypergéométriques d'ordre supérieur. Il suffit d'employer les transformations 

 du n" 9 et de répéter le raisonnement du n"- 4. 



[25.] Je me propose, pour terminer ce sujet, de montrer comment on 

 peut résoudre le même problème pour les séries hypergéométriques d'ordre 

 supéi-Jeur. Ivcmarquons d'abord que la classification dos points singuliers peut 



