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s'étoiidrc ;i une équation linéaire d'ordre quelconque n à cocfticieuts rationnels 

 et à intégrales régulières. Un point x = a sera un point ordinaire, si, dans 

 le domaine de ce i)oint, l'équation admet n intégrales particulières ayant les 

 formes suivantes : 



y = 1 + f;„ {x — a) + . . . 

 y/,.= (x - a) + (3,, [x - a)-+ . . . 



yn-= G' 



a)"-'+ A„(« - «)"+ 



Un point critique x — a appartiendra à l'une des espèces ci- dessous, 

 d'après les propriétés des racines r,, »•„, . . . r„_i de l'équation déterminante 

 fondamentale relative à ce point: 



l"- S'il y a deux racines dont la différence ne soit pas un nombre entier 

 ou si, toutes les différences r,— r,, étant des nombres entiers, l'intégrale géné- 

 rale contient des logarithmes dans le domaine de ce point, le point x = a sera 

 un point singulier de jyrcmière espèce. 



2*'' Si toutes les différences r^— r,, sont des nombres entiers, sans que les 

 racines }\, r„ . . . forment une progression arithmétique dont la raison serait 

 l'unité, et sans que l'intégrale générale contienne de logarithmes, dans le do- 

 maine du points iC = ft, le point x = a sera un point singulier de seconde espèce. 



3° Enfin si les racines r,, r.,, . . . forment une progression arithmétique 

 dont la raison est l'unité, sans que l'intégrale générale contienne de logarithmes 

 dans le domaine du point x — a., le point x = a sera un point singulier de 

 troisième espèce. 



On verra, comme au début, qu'on peut toujours par un changement de 

 fonction inconnue faire disparaître les points singuliers de troisième espèce et 

 ramener ceux de seconde espèce à des points singuliers apparents. 



Ceci posé, considérons une équation de la forme suivante 



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1 „ u — 1 l"~" 



où J, B, C, . . . L sont des constantes eu nombre 2w-l. Nous nous pro- 



