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posons de rechercher dans quels cas, en posant dans l'équatiun (88) x = (p (t), 

 où cp (f) désigne une fonction rationnelle de /, puis v = «/ iv, la nouvelle équa- 

 tion entre v et t sera de même forme que l'équation (88). Je remarque pour 

 cela que l'équation intermédiaire entre y et t ne devra posséder, outre les 

 points 0, 1, 00 que des points singuliers de troisième espèce; de plus, elle 

 devra admettre dans le domaine du point t=\, n-\ intégrales appartenant 

 effectivement à des exposants qui forment une progression arithmétique dont la 

 raison est l'unité. La fonction g) {t) devra donc être telle que l'équation ob- 

 tenue en posant re = c^ {t) dans l'équation (88) jouisse des propriétés précéden- 

 tes ; et inversement cette condition nécessaire est suffisante. 



Pour fixer les idées, je me borne au cas où l'équation </- [t) = h n'admet 

 pour racines ni t = 0, ni t=\, ni t = cß, tant que 5 est différent de 0, 1, oo . 

 Soient 0, 1, 2, . . . w — 2, jt^ les racines de l'équation déterminante fondamen- 

 tale de l'équation (88) relative au point critique x=\. 



Soient de même 



r, r + A„ r 4- ^,+ A^, . . . r + 2,+ 2^+ . . . + 2„_i, 



r\ r'+ r,, /+;•,+ r.^, . . . /+ r,+r^+ . . . + r„_), 



les racines des équations fondamentales relatives aux points a; = et x = ce , 

 rangées par ordre de grandeur croissante; par hypothèse, aucun des nombres 

 2, fj, V n'est égal à un nombre entier. On verra d'abord, comme au n°- 4, 

 que l'équation rp (f) = b ne devra admettre que des racines simple^s, tant que 

 b sei-a différent de 0, 1, ce. Supposons en second lieu que pour x = 0, t ait 

 une valeur a, différente de 0, l,co, et soit m l'ordre de multiplicité de la racine 

 t = a de l'équation cp {t) — 0. Dans le domaine du point i! = «, l'équation en 

 %j admettra n intégrales appartenant aux exposants 



r m, r m + A, m, r m + X^m + X„m, . . . r m + {X + X^+ . . . + A,,.,) m, 



qui devront former une progression arithmétique ayant l'unité pour raison. Il 

 faudra donc que l'on ait 



A = A„= A = . . . = A,„_i = —, 



m 



m étant un nombre entier supérieur à l'unité. On trouverait des conditions 



