Rcchcrchcti .'•Hr l'équation da Kummer. 121 



identiques pour les racines de l'équation (p [t) — ce . Enfin soit t — a une ra- 

 cine d'ordre m de multiplicité de l'équation (p (<) = 1, a étant différent de 

 0, 1 , 3D ; dans le domaine du point t - a, l'équation en y admettra n intégrales 

 appai'tenant respectivement aux exposants 



0, m, 2 m, . . . {il - 2) m, ;«, m, 



qui devront former une progression arithmétique ayant pour raison l'unité. Il 

 faudra donc que l'on ait 



(w — 2) m <(n — 1), 



et par suite w = 3, w = 2, j;i,= . Ces conditions ne suffisent jjoint, car il 



nous faut encore étudier la forme des intégrales dans le voisinage du point 

 t=l. m f-l est racine de l'équation (/,(/) = !, on voit immédiatement que 

 t = 1 sera racine simple, ou racine double, et dans ce dernier cas on aura 



«, = 3j m = 2, «(,= -. Si t=l est racine de l'une des équations (p[t) = 0, 



(p^i) = CO , t= l sera racine multiple. En définitive, la fonction (f (i) jouira 

 des propriétés suivantes: 



l"- Pour toute valeur de h différente de 0, 1, x), les racines de l'équa- 

 tion (f{t) = h seront i-acines simples ; 



2" les racines des deux équations (p[t)-0, cp [t] = œ , qui ne sont ni 0, 

 ni 1, ni co , seront racines multiples, au même degré de multiplicité 

 pour chacune d'elles ; 



?."• les racines de l'équation (f(t) = l, qui ne sont ni 0, ni 1, ni co , se- 

 ront racines doubles ; 



4"- la racine t = 1 sera racine simple ou racine double de l'équation 

 (p{t) = l, ou racine multiple de l'une des équations (f {t) = 0, (p (t) = cD . 



Nous voyons que la fonction cp (t) ne pourra être prise que parmi celles 

 dont il est question dans ce travail; mais l'inverse n'est pas vrai. Toute in- 

 tégrale de l'équation de Kummer ne peut pas servir à la transformation des 

 fonctions liypergéométriques d'ordre supérieur. 



La discussion comprend les mêmes cas particuliers que dans le cas 



général. 



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