Recherches sur l'équation de Kummer. 



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( V. Annales de. t Ecole Normale., tome X, Supplément, page 139, formule 1^1); 

 011 élevant au carré, on en déduit 



T'^o 1 n 5 .V ,-. , n"« Tit/ 1 r. 5 27a; V 



D'autre part, on a d'après la formule de Clausen {Journal de Grelle, 

 tome IIT), 



F ( «, ii, « + /^ + o' -^O 



\ « + /^ + 2' ^ '' + ^ '^' ^ / 



Il en résulte la nouvelle formule : 



\2«+g,4« + ^, 0. / \2. + g, 4«+-,^-j^3 



En supposant que 2,, A.,, /•,, r., soient des fractions ayant pour dénomi- 

 nateurs m et p, on verra comme plus haut que toute identité de la forme 

 (13) conduira à transformer des séries liypergéométriques du troisième ordre 

 en séries hypergéométriques d'ordre plus élevé. 



Pour permettre de saisir plus facilement les résultats de ce Mémoire, je 

 les ai réunis en un tableau; on y trouvera tous les systèmes de valeurs de 

 A, fj, )', r, {«', v tels que l'équation de Kummer correspondante admette une 

 intégi'ale rationnelle, en supposant que ces G éléments ont tous des valeurs 

 déterminées. Je suppose, ce qu'on peut toujours faire, X, i«, ;• positifs, et 

 rangés par ordre de grandeur décroissante, ainsi que A.', f/, v. 



