Ueber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 323 



denen positiven Werth hat, grösseren Flächeninhalt als das Minimalflächen- 

 stück M, mit welchem die Fläche F die Begrenzungslinie L gemein hat. 



Wie eine einfache Ueberlegung ergibt, gilt dieselbe Schlussfolgerung für 

 jede einfach zusammenhängende, von der Linie L begrenzte und aus einer 

 endlichen Anzahl von Stücken analytischer Flächen bestehende Fläche F„ 

 vorausgesetzt, dass alle Punkte dieser Fläche dem Räume R' angehören, und 

 dass dieselbe nicht in ihrer ganzen Ausdehnung mit dem Minimalflächenstücke M 

 zusammenfällt. 



Die in den beiden vorhergehenden Artikeln angestellten Betrachtungen 

 lassen sich nämlich hei angemessener Erweiterung der zu Grunde gelegten 

 Voraussetzungen ohne Schwierigkeit so verallgemeinern, dass die zunächst für 

 die Fläche F hergeleitete Schlussfolgerung für jede den angegebenen Bedin- 

 gungen genügende Fläche F, Greltung erhält. Bei dieser Verallgemeinerung, auf 

 welche hier nicht näher eingegangen zu werden braucht, kommt nicht allein 

 der Fall in Betracht, in welchem die Fläche F, mit einem oder mehreren 

 Minimalflächenstücken der Schaar Flächentheile von endlicher Ausdehnung 

 gemeinsam hat, sondern auch der Fall, in welchem die Schnittlinien der Fläche F, 

 mit einigen der Schaar angehörenden Minimalflächenstücken in getrennte Theile 

 zerfallen. Für die auf die letztere Verallgemeinerung bezügliche Untersuchung 

 ist das im Art. 1 betrachtete einfach zusammenhängende Minimalflächen- 

 stück M durch ein mehrfach zusammenhängendes Minimalflächenstück zu 

 ersetzen, dessen Begrenzungslinie aus mehreren getrennten Theilen besteht; 

 ebenso sind an die Stelle des einen im Art. 1 betrachteten gürtelförmigen 

 Flächenstreifens m e h r e r e solche Flächenstreifen zu setzen. Auf die nähere 

 Ausführung dieser Verallgemeinerung, durch welche das Wesentliche der in 

 den Artikeln 1 und 2 entwickelten Schlussfolgerungen nicht berührt wird, 

 gehe ich hier nicht näher ein. 



4. 

 Andere Begründung des Fnndameutalsatzes. 



Die im Art. 2 hergeleitete Formel (4.) 



S = r r C0SC3 ■ dF 



kann auch hergeleitet werden wie folgt. 



Man denke sich die der betrachteten Schaar angehörenden Minimal- 

 flächenstücke in Flächenelemente zerlegt und betrachte eine durch die 

 Begrenzung eines dieser Flächenelemente gelegte röhrenförmige Fläche, 



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