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welche die Minimalflächenstücke der betrachteten Schaar rechtwinklig durch- 

 schneidet. Diese Fläche begrenzt auf allen Flächenstücken der betrachteten 

 Schaar, welche von derselben durchschnitten werden, Flächenelemente von 

 gleich grossem Flächeninhalt, weil für jedes dieser Flächenstückchen die auf 

 den Uebergang desselben in ein unendlich benachbartes von derselben röhren- 

 förmigen Fläche begrenztes Flächenstückchen sich beziehende erste Variation 

 des Flächeninhalts gleich Null ist. 



Dieser Satz ist in dem Werke von E. Lamaule, Exposition géométrique 

 du calcul différentiel et intégral [Mémoires couronnés et autres mémoires publiés 

 par V Académie de Belgique, in 8^°, Tome XV, Bruxelles 1863, -pag. 576) 

 meines Wissens zuerst ausgesprochen worden. 



Bezeichnet dS den Flächeninhalt eines dieser Plächenelemente und d¥ 

 den Flächeninhalt eines der Fläche F angehörenden, von der betrachteten 

 röhrenförmigen Fläche begrenzten Flächenelementes, so besteht, jenachdem der 

 im Vorhergehenden erklärte Winkel a an der betrachteten Stelle kleiner oder 

 grösser ist als ein Rechter, die erste oder die zweite der beiden Gleichungen 



f?S = co.sro • r/F, dS = — cosa ■ dF. 



Durch Integration ergibt sich hieraus, wenn die Integration über alle 

 Flächenelementc (/F erstreckt wird, aus welchen die Fläche F besteht, die 

 Formel (4.) des Art. 2. 



5. 

 Analytischer Beweis des Fnndameutalsatzes. 



Die vorstellenden Untersuchungen stützen sich grösstentheils auf geome- 

 trische Betrachtungen. Mit Hülfe des folgenden Systems von Formeln kann 

 die Richtigkeit derselben Schlussfolgerungen auf analytischem Wege nachge- 

 wiesen werden. 



Es mögen u, v, t drei reelle stetig veränderliche Grössen, 



x,y,z drei gegebene reelle analytische Functionen der Grössen 

 u, V, a bezeichnen, welche innerhalb des zu betrachtenden Gebietes Q der von 

 einander unabhängigen Variablen u, v, t den Charakter ganzer Functionen be- 

 sitzen. Die Grössen x, y, ~~ bedeuten die rechtwinkligen Coordinaten eines 

 Punktes P; für jeden dem betrachteten Gebiete Q angehörenden Wertli von 

 £ ist der geometrische Ort dieses Punktes P allgemein zu reden ein Stück einer 

 krummen Fläche ; für jedes dem betrachteten Gebiete Q angehörende Werthe- 



