lieber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 325 



paar ««, v ist der geometrische Ort des Punktes P allgemein zu reden ein 

 Stück einer krummen Linie. 



Die Grössen A, B, C, D, D\ D" , E, F, G, H, J, K sollen durch folgende 

 Gleichungen erklärt werden: 



j _ dy dz d^ày_ j. _ . i^ , B ^ly , QÊlL, 



Ti _ ds^àx^_^^ T)' — J ^''■'' I R _^^2/ , p ^^ 



-D — .1.. ,■>.. Ji„ A,< 1 ^ — ^ ,0w^.. ~r ■'-' ,j„ ;>,, "1 ^ 



du dv du dv dudv^ 



^ _ ox oy oy ax n" — A '^'■^ i Ti ^^y J- P ^^^ 



^-Jicà¥^lu~à^' ^ -^ dv^ +-^ W^ '^^ di>" 



7? _ /à^\- I (ày\^ <(^^\^ U — dx dx dy dy dz_ äz_ 



^ - \du) ^\dü) '^VduV ^ - lu ~dï ^ du di ^'du dl' 



7,, _ dx dx dy dy dz_ dz^ t _ ^ ^ , ^ ^ 4-^^ ^^ 



'^ ^ 'dü^'^'du^ ~dü dv'' Iv' df ' ^ dt '^ dv de ' 



^=(^r+(2r+(§)' ^= (£r+ nr + itr- 



Für das Quadrat der Länge des Linienelementes einer von dem Punkte 

 mit den Coordinaten x, i/, z beschriebenen Linie ergibt sich der Ausdruck 

 dx"" + dy"- + ds' = E du' + 2 F du dv f G dv' + 2H du de + 21 dv dt + K dt\ 



Es wird vorausgesetzt, dass die beiden Grössen H und 1 beständig den 

 Werth Null haben ; mit anderen Worten, es wird vorausgesetzt, dass die ein- 

 fach unendliche Schaar der Flächen £ = const. von der zweifach unendlichen 

 Schaar von Raumcurven u^ const., v = const. orthogonal durchsetzt wird. 

 Ferner wird vorausgesetzt, dass die Grössen EG — F", K für kein dem zu 

 betrachtenden Gebiete Q angehörendes System von Werthen ^<, v, t den Werth 

 Null annehmen. 



Wird die Veränderlichkeit der Grössen ^<, v, f auf solche Werthe be- 

 schränkt, welche eine gegebene analytische Gleichung 



t = f{H,v) 



befriedigen, wobei vorausgesetzt werden soll, dass die Function f{u,v) für 

 alle in Betracht kommenden Werthe der Argumente u,v den Charakter einer 

 ganzen Function besitzt, so ist der geometrische Ort des Punktes P allgemein 

 zu reden eine gewisse krumme Fläche F, und zwar wird die Grösse des 

 Flächeninhalts dF eines Elementes dieser Fläche gegeben durch die Formel 



dF=]/[E + K(l:^y)[G + K{^^)-[F+K^^].dud. 



1/ EG - F"- + K E (IlV- - 2 F 4- ~+ G (p) 



f \dv/ du dv V ö!( / 



du dv. 



