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H. A. S c H W A R z. 



Ohne dass die Allgemeinlieit der Untersuchung beeinträchtigt wird, kann 

 vorausgesetzt werden, dass die Determinante 



. dx _, du ,, dz ,-, 



für alle dem zu betrachtenden Gebiete Q angehörenden Werthe der unabhängigen 

 Variablen u,v, e einen positiven Werth habe. In Folge der Gleichungen 

 ^=0, 1=0 ergibt sich N'={EG-F')K, also ist N=\/EG - F" ■\/K, 

 wobei jeder von diesen Quadratwurzeln ihr positiver Werth beizulegen ist. 

 "Wird festgesetzt, dass die positiven Richtungen der Normalen der den 

 Gleichungen f = const., è = f{u,v) entsprechenden Flächen diejenigen sind, in 

 welchen der Parameter e zunimmt, so haben die Cosinus der Neigungs- 

 winkel, welche die positive Richtung der Normale eines Elementes der Fläche 

 £ = const. mit den positiven Richtungen der Coordinatenaxen einschliesst, be- 

 ziehlich die Werthe 



und es ergibt sich für den Cosinus des Winkels m, welchen die positive 

 Richtung der Normale der Fläche t = f(t(,v) im Punkte P mit der positiven 

 Richtung der Normale der durch den Punkt P hindurchgehenden Fläche s = consi. 

 einschliesst, die Gleichung 



/■ 



Ea-F-+K[E{%)'-2Ft^+G{i;)-] ■ \/Kcos.= 



dx dx dl 



du de du 



dx dx de 



dv ' di dv 

 dx 

 ~d^ 



= N=\/EG-F' -{/K. 



Es ergibt sich also bei angemessener Zerlegung des Flächenstückes F in 

 Flächenelemente die Formel 



/^ 



EG-F' + K 



E {~y -2F^^+G {%y] ■ cosœ du dv = coso dF = \/EG - F' du dv, 



deren geometrische Bedeutung evident ist. 



