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Uéber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 327 



Der Winkel oj ist hierbei den getroffenen Festsetzungen zufolge stets ein 

 spitzer Winkel. 



Der Werth der Grösse EG - F^ hängt im Allgemeinen nicht bloss von 

 den Werthen der Grössen u,v, sondern auch von dem Werthe des Para- 

 meters t ab. Wenn aber jedes der betrachteten Flächenstücke s = const. ein 

 Minimalfläch ens tu ck ist, so ist, wie in dem Nachfolgenden gezeigt wer- 

 den soll, der Werth der Grösse EG - F' von dem Werthe der Grösse t 

 unabhängig. 



Der analytische Ausdruck der Bedingung, dass für jede der betrachteten 

 Flächen t = const. die beiden Hauptkrümmungshalbmesser der Fläche gleich 

 gross und entgegengesetzt gerichtet sind, ist die Gleichung 



EI)" - 2FD' + GD = 0. 



In Folge der Gleichungen E=0, 1=0 ergibt sich 



r^^r ] w _ |/ E'g - F^ [ dx d'x 1 jy'_\/EG-F'' \ dx d'^x 1 



\/FG-F 



es bestehen also die Gleichungen 





dE , dE 

 du ^ de 



7)' = i l /-Eg - J '^ \dH_ , i^ _ ^1 7)" = [/FG-F^ [dl _ ^ ög] 

 ' - \/Ê [à» au de J' |/^ Idv ^ ^g J) 



ED"-2FD'+GD=-i i^l^HZ^ \e^-2F^ + G ^]=-i lWI^^^j^(._p.y 



* \/E l 08 dl ' de j \/K as "■ ' 



d 



Hieraus folgt, dass -^ {EG — F"") — 0, dass also die Grösse EG — -F" und 



mithin auch der Ausdruck für die Grösse des Flächeninhalts d^ eines Ele- 

 mentes der Fläche t = const., 



dS = \/EG-F^dudv, 



von dem Werthe des Parameters t unabhängig ist. 

 Die Richtigkeit der Gleichung 



d8 = cosa ■ dF 



ist hierdurch analytisch dargethan. 



Derjenige Theil des unbegrenzten Raumes, welcher die Gesaramtheit aller 

 den Minimalflächenstticken der betrachteten Schaar angehörenden Punkte und 

 ausser diesen keine anderen Punkte enthält, möge mit R bezeichnet werden. 



Bei der vorstehenden Herleitung ist die einschränkende Voraussetzung 

 zu Grunde gelegt, die betrachtete Fläche F sei so beschaffen, dass, wenn der 



