üeher ein specielles Problem der Variationsrechnung. 329 



Wertli erhalten kann, wie ich in einer in den Monatsberichten der Königlich 

 Preiissischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom Jahre 1872 ver- 

 öffentlichten Abhandlung: .,Beitrag zur Untersuchung der zweiten Variation 

 des Flächeninhalts von MininialÜächen im Allgemeinen und von Theilen der 

 Schraubenfläche im Besonderen" gezeigt habe. 



Die Bedingung: „Die zweite Variation des Flächeninhalts eines solchen 

 Flächenstückes soll bei unverändert gelassener Begrenzung desselben negative 

 Werthe nicht annehmen können" ist zweifellos eine noth wendige; aber 

 es darf aus dem Umstände, dass diese Bedingung für ein bestimmtes Minimal- 

 flächenstück M erfüllt ist, nicht ohne Weiteres der Schluss gezogen werden, 

 dass dieses Flächenstück wirklich kleineren Flächeninhalt besitzt, als jedes 

 andere, von derselben Begrenzungslinie begrenzte, ihm unendlich benachbarte 

 Flächenstück. Denn bei einem Probleme der Variationsrechnung ist überhaupt 

 die Untersuchung der in Betracht kommenden zweiten Variation allein, wie 

 Herr Weiekstrass nachgewiesen hat, im Allgemeinen nicht ausreichend, 

 um mit Sicherheit auf das Eintreten eines Maximums oder Minimums schliessen 

 zu können. 



In dieser Hinsicht bedürfen einige in der erwähnten Abhandlung aus dem 

 Jahre 1872 ausgesprochene Behauptungen einer noch eingehenderen Begründung. 



In der That kann der geforderte Nachweis mittelst des in den vorher- 

 gehenden Artikeln dargelegten Beweisverfahrens für jedes Minimalflächenstück M 

 geführt werden, für dessen beide Seiten eine das Flächenstück M enthaltende 

 Schaar von Minimalflächenstücken construirt werden kann, welche so beschaffen 

 ist, dass der Abstand je zweier unendlich benachbarter Flächenstücke der 

 Schaar überall eine unendlich kleine Grösse derselben Ordnung ist. 



Denn unter dieser Voraussetzung ist es möglich, auf der einen Seite 

 des Minimalflächenstückes M einen Eaum R', auf der anderen Seite desselben 

 einen Raum R" abzugrenzen, so dass der aus den beiden Räumen R' und R" 

 bestehende Raum, welcher mit R bezeichnet werden soll, ausser der Gesammt- 

 heit derjenigen Punkte, welche den Minimalflächenstücken der beiden Schaaren 

 angehören, keine anderen Punkte enthält. 



Es gilt dann der Satz : Jede nicht in ihrer ganzen Ausdehnung mit dem 

 Minimalflächenstücke M zusammenfallende, aus einer endlichen Anzahl von 

 Stücken analjtischer Flächen bestehende, zusammenhängende Fläche F, deren 

 vollständige Begrenzung von der Begrenzung des Minimalflächenstückes M ge- 

 bildet wird, und welche so beschaffen ist, dass alle Punkte dieser Fläche dem 

 Räume R angehören, besitzt grösseren Flächeninhalt, als das Minimalflächen- 

 stück M. 



