di, , _ di, 



332 H. A. Schwarz. 



dil>=^ds + ^^ds^ = 



bestimmten Richtung entspricht. 



Betrachtet man die Schaar der auf dieser Hülfskugel liegenden Curven, 

 längs welcher die Function ^/' einen constanten Werth besitzt, construirt zu 

 dieser Schaar die Schaar der orthogonalen Trajectorien und bezeichnet mit dc\ 

 die Länge eines Linienelementes der durch den Punkt mit den Coordinaten 

 X, Y, Z gehenden, auf der Kugel X" + Y" + Z'' = l liegenden orthogonalen 

 Trajectorie der Curvenschaar V ~ const., so ergibt sich 



wenn mit -t^ die in der Richtung des betrachteten Curvenelementes genommene 

 partielle Ableitung der Function i/> bezeichnet wird. Wird nun die Festsetzung 

 getroffen, dass die Richtung, in welcher die Bogenlänge q zunimmt, diejenige 

 sein soll, in welcher die Function V ebenfalls zunimmt, so stimmt diese Rich- 

 tung mit der Richtung derjenigen Strecke überein, deren Coordinaten 



dx - 2X-V', % - 2 Fl/., d^ - 2Zip 



sind, während die Grösse 2-^ die Länge dieser Strecke ergibt. Die Rich- 

 tung dieser Strecke steht zu der Richtung desjenigen dem Flächenstücke M 

 angehörenden Curvenelementes, welches im Punkte P der durch die Gleichung 



bestimmten Fortschreitungsrichtung entspricht, in der einfachen Beziehung, dass 

 die Halb irungsli nie des durch diese beiden Richtungen bestimmten Win- 

 kels der Tangente einer der beiden durch den Punkt P hindurchgehenden 

 Asymptoteulinien des Minimalflächenstückes M parallel ist. Mit an- 

 deren Worten : Die beiden mit einander verglichenen Richtungen sind in Be- 

 ziehung auf den zu dem Punkte P des Minimalflächenstückes M gehörenden 

 DüPiN'schen Kegelschnitt zu einander conjugirt. 



Der geometrische Ort desjenigen Punktes, dessen rechtwinklige Coordi- 

 naten beziehlich die Grösse 



2XV% 2r^., 2Zil> 



haben, ist die Fu s spunk tfläch e einer Minimalfläche, welche letztere sich 

 als geometrischer Ort eines Punktes erweist, dessen rechtwinklige Coordinaten 

 beziehhch dx,ôy,d2 sind; der Coordinatenanfangspuukt ist hierbei der Pol. 



