lieber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 333 



Da die Grösse V (1er Voraussetzung zufolge für kein dem Bereiche T 

 angehörendes Werthepaar |, »/ gleich Null wird, so liegt der Coordinaten- 

 anfangspunkt in keiner der Tangentialebenen des dem Bereiche T entsprechen- 

 den Stückes dieser Minimalfläche, welches mit 3)î bezeichnet werden möge. 



Es ergibt sich hieraus folgender Lehrsatz. 



Ein bestimmtes Stück M einer Minimalfläche besitzt unter allen von den- 

 selben Randlinien begrenzten und ihm unendlich benachbarten Flächenstücken 

 den kleinsten Flächeninhalt, wenn es ein zusammenhängendes dem betrachteten 

 Flächenstücke M durch parallele Normalen Punkt für Punkt entsprechendes 

 Minimalflächenstück 3)1 gibt, dessen sämmtliche Tangentialebenen von einem 

 und demselben Punkte des Raumes einen von Null verschiedenen Abstand 

 haben.*) 



8. 



Unterscheidung dreier Fälle. Tragweite der durch die Betrachtung derselben zu 



treffenden Entscheidung. 



Durch das in den vorhergehenden Artikeln entwickelte Beweisverfahren 

 ist die Frage über das Eintreten des Minimums des Flächeninhalts bei unver- 

 ändert gelassener Begrenzungslinie für alle diejenigen Minimalflächenstücke M 

 in positivem Sinne entschieden, deren sphärisches Bild einem Bereiche T ent- 

 spricht, für dessen Inneres eines der particulären Integrale der partiellen Diffe- 



rentialgleichung 





sich regulär verhält und nur reelle, endliche, von Null verschiedene Werthe 

 annimmt ; die letztere Bedingung muss hierbei zunächst auch für alle Punkte 

 der Begrenzung des Bereiches T gestellt werden. 



Es entsteht nun die Frage nach dem diesem Entscheidungsgrunde beizu- 

 legenden Grade der Allgemeinheit. 



In der im Art. 6 angeführten Abhandlung habe ich drei Fälle unter- 

 schieden, ohne den Beweis dafür anzutreten, dass durch dieselben die Ge- 

 sammtheit aller Fälle erschöpft wird, welche in Bezug auf die Entscheidung 

 der vorliegenden Frage eintreten können. Es sind dies folgende drei Fälle: 



I. Es gibt ein particuläres Integral der angegebenen partiellen Differen- 



*) Vcrgl. des Verfassers Abhandhmg: Miscellen ans dem Gebiete der Miuimalflächen, Viertel- 

 jahrsschrift der Natiirforschendeu Gesellschaft iu Zürich, XIS.. Jahigang. Seite Ï70. Journal für Mathe- 

 matik. Band 80, Seite '^99. 



