334 H. A. Schwarz. 



tialgleichung, welches iii Bezug auf den betrachteten Bereich allen aufgestellten 

 Bedingungen genügt. 



II. Es gibt ein particuläres Integral der angegebenen partiellen Diffe- 

 rentialgleichung, welches zwar im Innern des betrachteten Bereiches den auf- 

 gestellten Bedingungen genügt, aber längs der ganzen Begrenzung desselben 

 den Werth Null annimmt. 



III. Es gibt ein particuläres Integral der angegebenen partiellen Diffe- 

 rentialgleichung, welches so beschaffen ist, dass dieses Integral für einen 

 T h e i 1 des betrachteten Bereiches den Bedingungen des vorhergehenden Falles 

 (II.) genügt. 



Tritt für ein gegebenes Minimalflächenstück M der erste Fall ein, so 

 besitzt dasselbe, wie durch das in den vorhergehenden Artikeln entwickelte 

 Beweisverfahren erhärtet wird, in dem angegebenen Sinne wirklich ein Mini- 

 mum des Flächeninhalts. 



Tritt für das betrachtete Minimalflächenstück M der dritte Fall ein, so 

 gibt es unendlich viele, dem betrachteten Minimalflächenstücke unendlich be- 

 nachbarte, von derselben Randlinie begrenzte Flächenstücke, welche kleine- 

 ren Flächeninhalt haben als das Minimalflächenstück M. Es tritt also in 

 diesem Falle für das betrachtete Minimalflächenstück ein Minimum des Flächen- 

 inhalts nicht ein. 



Der zweite Fall ist für die vorliegende Untersuchung als Grenzfall 

 anzusehen, dessen Eintreten eine besondere Untersuchung erfordert. 



Der Nachweis, dass durch die angeführten drei Fälle die Gesammtheit 

 aller Fälle erschöpft wird, welche in Bezug auf die Entscheidung der vorlie- 

 genden Frage eintreten können, scheint nicht ohne ein genaueres Eingehen auf 

 einige Eigenschaften derjenigen reellen Functionen zweier Argumente geführt 

 werden zu können, welche, wenn jK^iV) ^i'^^ gegebene Function dieser beiden 

 Argumente bezeichnet, die in dem betrachteten Bereiche nur positive 

 Werthe annimmt, einer partiellen Differentialgleichung von der Form 



genügen. Diese Untersuchung bildet den Gegenstand des zweiten Theiles der 

 vorliegenden Abhandlung. 



