Veher ein specielles Problem der Variationsrechnung. 335 



Zweiter Theil. 

 Integration der partiellen Differentialgleichung 



unter vorgesclirietienen Bedingungen. 



9. 

 Stellung der Aufgabe. 



Es sei gegeben ein ebener, zweifach ausgedehnter, zusammenhängender, 

 ganz im Endlichen enthaltener Bereich T, dessen vollständige Begrenzung von 

 einer endlichen Anzahl von Stücken analytischer Linien gebildet wird. 



Die den Bereich T geometrisch darstellende RiEMANN'sche Fläche, welche 

 ebenfalls als gegeben betrachtet wird, kann einfach oder mehrfach zusammen- 

 hängend, einblättrig oder mehrblättrig sein; im letzteren Falle wird voraus- 

 gesetzt, dass dieselbe nur eine endliche Anzahl von Blättern und nur eine 

 endliche Anzahl von Windungspunkten besitzt. 



In der Ebene des Bereiches T denke man sich ein rechtwinkliges Coor- 

 dinatensystem angenommen und bezeichne mit x, y, beziehungsweise mit |, »j 

 die auf dieses Coordinatensystem bezogenen rechtwinkligen Coordinaten einer 

 beliebigen Stelle (x, y), beziehungsweise (|, »;) des Bereiches T. 



Es bezeichne p=p{x,y) eine gegebene, für jede Stelle {x,y) des Be- 

 reiches T eindeutig erklärte, stetige Function der Grössen x, y. 



Unter der Voraussetzung, dass diese Function nur positive Werthe an- 

 nimmt, welche den Werth P an keiner Stelle übersteigen, handelt es sich 

 darum, zu untersuchen, ob es möglich ist, die partielle Differentialgleichung 



-j^ + -^ + p-w = 0, oder, wenn der Ausdruck -j^-'r-r^ zur Abkürzung 



mit /iw bezeichnet wird, die partielle Differentialgleichung Jw + p iv = für 



den Bereich T gewissen vorgeschriebenen Bedingungen gemäss zu integriren. 



Hierbei wird gefordert, die Function w soll für alle dem Innern und der 



Begrenzung des Bereiches T angehörenden Stellen stetig bleiben, eindeutig 



