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erklärt sein und nur reelle Werthe annehmen; die partiellen Ableitungen der 

 Function iv, ~, -f— sollen im Innern des Bereiches T nicht längs einer Linie 



' ox ' oy 



unstetig sein. 



Die Hauptfrage, auf deren Beantwortung es ankommt, ist die folgende: 

 Gibt es eine für den betrachteten Bereich T allen angegebenen Bedingungen 

 genügende Function w, welche im Innern und längs der ganzen Begrenzung 

 dieses Bereiches nur positive, von Null verschiedene Werthe annimmt? 



10. 

 Einige als bekannt vorauszusetzende Hülfssätze. 



In Folge der bezüglich des Bereiches T gestellten Voraussetzungen ist 

 es möglich, wie ich in einer in den Monatsberichten der Königlich Preussischeu 

 Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom Jahre 1870 veröffentlichten Ab- 

 handlung *) bewiesen habe, die partielle Differentialgleichung Jiv = für den 

 Bereich T gewissen vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen ge- 

 mäss zu integriren. 



Insbesondere ergibt sich aus einem in dieser Abhandlung **) geführten 

 Beweise, dass es, wenn mit (a-,^), (|, ij) irgend zwei von einander ver- 

 schiedene Stellen des Bereiches T bezeichnet werden, stets eine Function 

 G= G {x,y; ^,7j) der vier Argumente x, y, |, yj gibt, welche folgende Eigen- 

 schaften besitzt: 



1. Als Function der beiden Argumente x, y betrachtet genügt die Func- 

 tion G{x,y;i,ïj) der partiellen Differentialgleichung JG — 0. 



2. Bei der Annäherung der Stelle {x,^J) an die Stelle (|, ->;) wird die 

 Function G (x,y, ^^tj) in derselben Weise logarithmisch unstetig, wie die 



Function ~Y{m~-ÇJj^^ff {^ ^ ^T + {u — vT • ^i^ Grösse m bezeichnet hier- 

 bei eine bestimmte ganze Zahl, welcher, wenn die Stelle (|, ^) nicht mit ei- 

 nem Windungspunkte des Bereiches T zusammenfällt, der Werth 0, andern- 

 falls, wenn jt die Ordnungszahl dieses Windungspunktes bezeichnet, der Werth 

 (< beizulegen ist. 



3. Längs der ganzen Begrenzung des Bereiches T wird die Function 

 G {x, y; I, rf) gleich Null. 



*) lieber die Integiation der partiellen üiffereiitialgleiclmng ^-^ + -^-^ = unter vorge- 

 schriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbediugiiiigeii. Seite 767 — 795. 

 **) Seite 786 ff. 



