Ucher ein specielles Prohlem der Variationsrechnung. 337 



In Folge dieser Eigenschaften besitzt die Function G{x,y]è„ri) zugleich 

 die Eigenschaft, für alle dem Innern des Bereiches T angehörenden Stellen 

 {x,y) nur positive Werthe anzunehmen und ihren Werth nicht zu ändern, 

 wenn die beiden Stellen {x,y) und (|, r/) mit einander vertauscht werden. 



Wird nun mit f{i,tj) eine für alle Stellen (|, »;) des Bereiches T ein- 

 deutig erklärte, stetige Function der beiden Argumente {i,'»]) bezeichnet, so 

 ergibt die Formel 



(6.) w = w {x, y) = 4^- jj /"(^, n) G (1, 1] ; a;, y) di dt) , 



T 



wenn die Integration über den Bereich T erstreckt wird, ein particuläres In- 

 tegral der partiellen Differentialgleichung 



(7.) zïîv + f(x,y) = 0, 



welches für alle dem Innern und der Begrenzung des Bereiches T angehö- 

 renden Stellen eindeutig erklärt ist, stetig bleibt und längs der ganzen Be- 

 grenzung dieses Bereiches gleich Null wird. Die Ableitungen ^' ~ sind im 

 Innern des Bereiches T nicht längs einer Linie unstetig. 



Durch die angegebenen Eigenschaften ist dieses particuläre Integral der 

 partiellen Differentialgleichung /tw + f{x,y) = Q eindeutig bestimmt. 



Auf die Beweise dieser Sätze, welche ich für die folgende Untersuchung 

 als bekannt voraussetze, gehe ich hier nicht näher ein. 



11. 



Voraussetzung der Existenz einer für den Bereich T den gestellten Bedingungen 

 genügenden Fuuction tc. welche für keine Stelle dieses Bereiches den Werth 



Null annimmt. Folgerungen. 



Wenn vorausgesetzt wird, dass für den Bereich T eine Function w exi- 

 stirt, welche für diesen Bereich im angegebenen Sinne die partielle Differen- 

 tialgleichung Jiv -\- p w = befriedigt, und welche sowohl im Innern, als auch 

 längs der ganzen Begrenzung des Bereiches T nur positive, von Null ver- 

 schiedene Werthe annimmt, so kann geschlossen werden wie folgt. 



Es bezeichne u\^ = u\^(^x, y) eine für den Bereich T der Differentialglei- 

 chung Aw^=0 genügende Function, welche längs der ganzen Begrenzung die- 

 ses Bereiches mit der Function w übereinstimmt. Es gibt stets eine und nur 

 eine einzige solche Function und zwar nimmt dieselbe für alle Stellen des 

 Bereiches T nur positive, von Null verschiedene Werthe an. 



Die Function w — w„, welche längs der ganzen Begrenzung des Bereiches 

 T den Werth Null hat, genügt für den Bereich T der partiellen Differential- 



