Uéber ein specielles Froblem der Variationsrechnung. 339 



Für jeden Werth des Index n besteht also die Beziehung 



( 1 1 .) ÎV — w^ — tv^ — ■ ■ — w„ < q"'^^ ■ w. 



Hieraus folgt, da die Grösse q kleiner als 1 ist, dass die aus den Functio- 

 nen IV ^, w,, /«;.,, . . gebildete unendliche Reihe w, + w, + w„ + • • + "'„+ • • in int", 

 für alle dem Bereiche T angehörenden Stellen {x,i/) unbedingt und in glei- 

 chem Grade convergirt. Die Function iv. deren Existenz vorausgesetzt wurde, 

 ist die Summe dieser Reihe. 



12. 

 Weitere Folgernugen. 



Die Function w^, ist eindeutig bestimmt durch diejenigen Werthe, welche 

 die Function w längs der Begrenzung des Bereiches T annimmt; dasselbe gilt 

 von jeder einzelnen der Functionen /v^, iv^, . . iv„, . . . 



Man kann nun die Werthe, welche eine stetige reelle Function u^^— u^^{x,y) 

 der beiden Argumente x, if längs der Begrenzung des Bereiches T annehmen 

 soll, willkürlich vorscln'eiben und die partielle Differentialgleichung J«, = 

 für den Bereich T so integriren, dass die Function «„(*',?/) dieser vorgeschrie- 

 benen Grenzbedingung genügt. 



Wenn mit k der kleinste, mit g der grösste unter allen denjenigen Wer- 



then bezeichnet wird, welche der Quotient "° /^' ^ >, längs der Begrenzung des 



Bereiches T annimmt, so nimmt auch im Innern des Bereiches T von den 

 beiden Functionen u^(x, i/) ~ hv_^(x, y), u^(x,i/) — gw^^x, y) die erste an kei- 

 ner Stelle einen negativen, die zweite an keiner Stelle einen positiven Werth 

 an. Denkt man sich nun für den Bereich T die Functionen u^, m„, u^, . . u„, . . 

 bestimmt, welche aus der Function u^ auf dieselbe Weise hervorgehen, wie 

 die Functionen iv^,w„,iv^^..w,„.. aus der Function u\^ hervorgegangen sind, 

 so ergibt sich, dass im Innern des Bereiches T von den beiden Functionen 

 w„ — kw,„ u„ - gui„ die erste an keiner Stelle einen negativen, die zweite an 

 keiner Stelle einen positiven Werth annimmt. 



Hieraus folgt, dass die unendliche Reihe m,, + u^ + u„ + ■ ■ + u„ + ■ . für 

 alle Stellen des Bereiches T unbedingt und in gleichem Grade convergirt. 

 Die Summe dieser Reihe, welche mit u — u[x,y) bezeichnet werden soll, ist 

 eine Function, welche in Folge der Gleichung 



(12.) w C^-, </) - M„ (a;, y) = ^ J j F (I, n) « (l> »?) ö^ (I, ri)x^y) ^1 ^»y 



t' 



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