Uebcr ein specielles Prohlcm der Fariationsrechniau/. 341 



14. 

 Erklärung der Grössen W,„^„, F„,,„, W„. 



Unter Zugrundelegung der Annahme, dass die Functionen w^^,tv^,w^, 

 . . tv„^ . . die in dem vorhergelienden Art. erklärte Bedeutung liaben, sollen, 

 wenn m, n irgend zwei ganze positive Zahlen bezeichnen, einschliessHch der 

 Null, mit W,„^„ und F,„,„ die durch die Gleichungen 



(13.) TF„„., =^^pw„w,, clx dy, F,„... = JJ(^ 5^ + ^" ^) ^^ *^' 



erklärten Grössen bezeichnet werden, wobei die Integrationen über den Be- 

 Bereich T zu erstrecken sind. 



Es sollen nun einige zwischen den Werthen dieser bestimmten Integrale 

 bestehende Bezieiningen hergeleitet werden, welche für die folgende Unter- 

 suchung von wesentlicher Bedeutung sind; zugleich ist der Nachweis zu führen, 

 dass das mit F,„_„ bezeichnete Doppelintegral für jede Combination m,n der 

 beiden Indices die Eigenschaft besitzt, unbedingt convergent zu sein. 



I. Weil das Doppelintegral 2^w^w„^i dx dy = IFo,„_i nur positive 



Elemente enthält, so hat jedes Doppelintegral ptv^^w„_i dx dy, bei welchem 



T' 



die Integration über einen Theil T' des Gebietes T erstreckt wird, einen 

 endlichen Werth, welcher kleiner als FFo, „_i ist. 



In Folge der Gleichungen io-w„_i = — /lw„,w^^= l geht das Doppelin- 

 tegral p IV ^^ iv„ _ 1 dx dy in ein einfaches, längs der Randlinie (T') des Be- 



T' 



reiches T' zu erstreckendes Integral über, nämlich in das Integral j '— dl, 

 wenn dl die Länge eines Elementes dieser Randlinie, -^ den Werth der 



OV 



in der Richtung der Normale zu dem Randelemente dl genommenen partiellen 

 Ableitung der Function iv„ bezeichnet. Als positive Richtung dieser Normale 

 wird hierbei diejenige fixirt, welche von dem betrachteten Randelemente zu 

 inneren Punkten des Bereiches T' führt. 



Das Integral !— dl hat hiernach stets einen endlichen, den Werth der 

 Grösse IFq, .,-i nicht übertreffenden Werth. 



